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在这个数据驱动的时代，矩阵作为数学中的瑰宝，不仅在理论研究中占据核心地位，更在工程技术、计算机科学、物理学、经济学等众多领域发挥着不可替代的作用。今天，让我们通过中国科学院大学耿修瑞老师（中国科学院空天信息研究院研究员）的《矩阵之美》丛书，一同走进《矩阵之美》的世界，探索矩阵的奥秘与美丽。该丛书已出版《矩阵之美：基础篇》和《矩阵之美：算法篇》。

一、矩阵：从抽象到具体的华丽蜕变

对矩阵的认识，大致经历了三个阶段。

最初，矩阵仅仅是一种新的数学符号或代数工具，充满了各种不知来由的定义和难以捉摸的代数性质。在这个阶段，矩阵就像一个黑匣子，抽象而晦涩，让人难以捉摸其真谛。然而，随着数学的发展，矩阵逐渐揭开了它神秘的面纱。

其次，矩阵是线性变换在给定坐标系下的代数表达，它可以表征自然界中的各种线性动作。在《矩阵之美：基础篇》中，作者从线性变换的角度，对矩阵进行了全新的诠释。他指出，矩阵并非无源之水、无本之木，而是源于自然界中的线性变换，是线性变换在给定基或坐标系下的代数表达。这一观点，如同一把钥匙，打开了通往矩阵世界的大门，让我们得以窥见矩阵背后的美丽与秩序。具体来说，矩阵可以表征自然界中的各种线性动作，如拉伸、压缩、旋转等。在《矩阵之美：基础篇》中，作者通过生动的实例和直观的图表，展示了矩阵如何描述这些线性变换。例如，通过矩阵变换，可以将一个正方形变换为一个平行四边形，或者将一个圆变换为一个椭圆。这种具体而清晰的描述，让矩阵不再是一个抽象的概念，而是一幅幅生动的图景，展现在我们眼前。

最后，矩阵具有深刻的物理内涵，各种不同的矩阵代数结构对应着自然界中各种不同的物理结构。随着对矩阵认识的深入，人们发现矩阵不仅具有直观的几何意义，还蕴含着深刻的物理内涵。在《矩阵之美：基础篇》中，作者详细阐述了矩阵与物理学之间的紧密联系。不同的矩阵代数结构对应着自然界中各种不同的物理结构，这使得矩阵成为了一架通往终极真理的天梯，引领我们探索自然界的奥秘。

二、矩阵的深刻内涵与广泛应用

矩阵具有深刻的内涵和广泛的应用。在量子力学中，波函数可以用一个向量来表示，而量子态的演化则可以通过一个矩阵（即哈密顿量）来描述。这个矩阵不仅决定了量子态随时间的演化规律，还反映了量子系统的物理性质。在相对论中，洛伦兹变换矩阵则描述了不同惯性参考系之间的坐标变换关系，是相对论理论的基础之一。

此外，矩阵还在工程技术、计算机科学等领域发挥着重要作用。在图像处理中，一幅图像可以用一个矩阵来表示，通过矩阵运算可以实现图像的旋转、缩放、滤波等操作。在机器学习中，矩阵更是无处不在。特征值分解、奇异值分解等矩阵算法被广泛应用于数据降维、分类、聚类等任务中，成为机器学习领域不可或缺的工具。

三、《矩阵之美》的独特魅力与精彩内容

《矩阵之美》系列图书由耿修瑞老师精心撰写，分为基础篇和算法篇两部分。这两本书不仅可视化地呈现了矩阵理论的核心概念，还深入剖析了九类精妙的矩阵算法，为读者提供了一份全面而深入的矩阵学习指南。

1. 基础篇：可视化地呈现矩阵理论中的核心概念

《矩阵之美：基础篇》从线性变换的角度出发，对矩阵的诸多重要概念进行了新的梳理。全书共八章，每章都围绕一个核心主题展开，内容深入浅出、条理清晰。

(1)  第1章：矩阵与线性变换。本章首先旗帜鲜明地指出矩阵并非无源之水、无本之木，而是源于自然界中的线性变换，并且矩阵正是线性变换在给定基或坐标系下的代数表达。

图1 线性变换：水平方向扩大两倍，垂直方向缩小为原来的二分之一

(2)  第2章：矩阵相似与矩阵合同。本章讲述了线性变换的矩阵表达与坐标系的关系，从而引出矩阵相似的概念；此外，选讲内容讲述了矩阵合同与度规的关联。

图2 点的定量描述需要引入坐标系，同一个点在不同坐标系中有不同的坐标

(3)  第3章：矩阵特征分析。本章从特征分析的角度给出了一个矩阵可能包含的线性变换类型，并给出了各种不同类型的数与自然界中基本线性动作的对应关系。

图3 矩阵的特征值与特征向量的几何意义

(4)第4章：矩阵对角化与若尔当标准形。本章利用矩阵对角化和若尔当标准形理论对自然界中线性变换的种类问题给出了明确的结论。

(5)第5章：矩阵的幂。本章从线性变换的连续性角度，对矩阵在实域内是否可以开任意次方以及如何计算矩阵的任意次方给出了严谨的阐述。

图4 矩阵的幂与对应的线性变换

(6)第6章：行列式。本章指出行列式代表线性变换的整体缩放效果，并分别给出了行列式的代数解释和几何解释；此外，还阐述了行列式与叉积、楔形积、混合积等概念的关联。

图5 楔形积的几何意义

(7)第7章：矩阵李群。本章讲述了多个满足一定条件的矩阵组合在一起可以描述一些特殊的几何结构以及对应自然界中一些基本的物理结构。通过引入矩阵李群的概念和意义，为读者打开了通往更高层次数学世界的大门。

图6 正方形的对称性

(8)第8章：矩阵李代数。鉴于李群的李代数为线性空间且包含了李群的大部分信息，本章给出了矩阵李代数的相关概念及含义。这些内容为读者后续学习李群和李代数提供了坚实的基础。

图7 三维欧氏空间的雅可比恒等式的几何解释：三角形的三条垂线必然交于一点

2. 算法篇：领略矩阵算法的精妙与神奇

《矩阵之美：算法篇》则通过九个章节深入剖析了九类最精妙、最优雅的矩阵算法。这些算法不仅在数学上有着重要地位，还在实际应用中发挥着巨大作用。

(1)  第1章：最小二乘法。本章主要通过投影矩阵体现矩阵在曲线（面）拟合中的能力。最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，在回归分析、信号处理等领域有着广泛应用。本章通过实例展示了如何利用最小二乘法进行曲线拟合以及如何处理约束条件下的最小二乘问题。

图8 最小二乘法的几何解释

(2)  第2章：主成分分析。本章主要通过协方差矩阵体现矩阵在子空间逼近中的能力。主成分分析是最常用的数据降维方法。本书首先将降维问题转化为观测数据协方差矩阵的特征值与特征向量问题，然后从几何（样本空间的超椭球）、子空间逼近（总体最小二乘法）和概率（数据的高斯分布）等多个角度，对主成分分析进行深入而全面的诠释。

图9 矩阵乘法示意图

(3)  第3章：主偏度分析。本章主要通过协偏度张量体现矩阵（张量）在非高斯（非对称）分析中的能力。主偏度分析是主成分分析从二阶统计到三阶统计的自然拓展，它可以用来描述和处理数据中的非对称结构。本章首先将数据的极值偏度问题转化为数据协偏度张量的特征分析问题，然后讨论了协偏度张量特征对的多种求解方法。特别地，作者在本章首次揭示了主偏度分析与单形体之间的内在联系，并基于此给出了主偏度分析的几何解释。

图10 协偏度张量计算示意图

(4)  第4章：典型相关分析。本章主要通过互相关矩阵体现矩阵在变化分析中的能力。典型相关分析是衡量两组变量之间相关关系的经典工具。本书首先从互相关分析出发，将两组变量的相关性问题转化为其互相关矩阵的特征值与特征向量问题。然后，从互相关分析的相似性指标问题引出典型相关分析，并证明了二者之间的内在关系。特别地，结合矩阵特征值求解的幂法，首次给出了典型相关分析的几何解释。

图11 互相关分析示例，其中紫色向量为两组向量的共同第一互相关成分

(5)  第5章：非负矩阵分解。本章主要通过非负矩阵体现矩阵在优化分析中的能力。非负矩阵分解是揭示数据内在结构的热门工具，尤其适用于非负数据的特征提取和表示。本章从梯度下降法出发，引出非负矩阵分解的乘式迭代规则，并从概率、混合像元分析、奇异值分解、聚类分析、KKT条件等多个角度对其进行了全方位解读。

图12 非负矩阵分解的混合像元分解示意图

(6)  第6章：局部线性嵌入。本章主要通过局部权重矩阵体现矩阵在非线性分析中的能力。局部线性嵌入是用于“化曲为直”的经典数据非线性分析工具。本节首先将保持局部结构的非线性降维问题转化为由局部权重构建的对称矩阵的特征值与特征向量问题，并分析其与拉普拉斯映射、随机邻域嵌入、多维尺度变换及等距特征映射等其他经典非线性分析工具的异同。

图13 半圆上的数据点嵌入到实数集上的结果

(7)  第7章：傅里叶变换。本章通过循环移位矩阵体现矩阵在时、频分析中的能力。傅里叶变换是将信号从时域或空间域转换到频域的经典工具。本章从傅里叶级数入手，逐步引出傅里叶变换、离散傅里叶变换、快速傅里叶变换、完美差分矩阵及离散余弦变换。特别地，深刻揭示了循环移位矩阵与离散傅里叶变换以及sinc插值之间的内在关联。

图14 从矩阵分解的角度解释蝶形运算

(8)  第8章：连通中心演化。本章主要通过相似度矩阵体现矩阵在多尺度分析中的能力。连通中心演化是用于数据一阶统计分析的天然工具。本章将图论中途径个数的概念推广到实数情形，分别给出连通度、相对连通度及连通中心等重要概念，继而提出连通中心演化这一数据中心确定的理想工具，同时针对其复杂度问题给出了相应的解决方案。

图15 具有自环的无向图及其邻接矩阵

(9)  第9章：瑞利商。本章主要通过矩阵的瑞利商体现矩阵在多因素分析中的能力。广义瑞利商是统筹处理多因素数据的经典工具。本章阐述广义瑞利商的相关概念和取值范围，并介绍其在多学科中的广泛应用。

图16 线性判别分析对比主成分分析

四、《矩阵之美》的价值与意义

《矩阵之美》丛书不仅具有很高的学术价值，还具有重要的实践意义。对于高等学校理工科本科生、研究生以及科研人员来说，这是一份不可多得的参考资料。通过阅读这两本书，读者可以系统地学习矩阵理论的基础知识并深入了解九类精妙的矩阵算法。这些知识不仅有助于提升读者的数学素养和科研能力，还有助于读者在实际工作中更好地应用矩阵工具解决问题。

此外，《矩阵之美》还具有很强的可读性和趣味性。全书语言简洁流畅、通俗易懂，以生动有趣的方式介绍了各类经典矩阵算法的历史渊源和发展脉络。通过精心设计的实例和直观图表，读者可以快速建立对相应算法的直观感知与深刻理解。即使是没有深厚数学背景的读者也能轻松掌握相关理论与方法并感受到矩阵背后的优雅与秩序。

五、走进矩阵的奇妙世界

矩阵作为数学中的瑰宝，不仅具有深刻的理论内涵和广泛的应用价值，还蕴含着无尽的美丽与秩序。《矩阵之美》丛书以独特的视角和深入的分析带领读者走进了矩阵的奇妙世界。通过阅读这两本书，读者可以更全面地了解矩阵的本质和特性并领略到矩阵在各个领域中的广泛应用和独特魅力。

如果你对矩阵感兴趣或者正在从事与矩阵相关的工作和研究，那么《矩阵之美》绝对是一本值得一读的好书。它不仅能够提升你的数学素养和科研能力，还能够激发你对数学和科学的热爱与追求。让我们一起走进矩阵的世界，探索其中的奥秘与美丽吧！

图17 《矩阵之美：基础篇》目录

图18 《矩阵之美：算法篇》目录

摘要：本文介绍了《矩阵之美》系列丛书的基础篇和算法篇。该系列图书对矩阵的核心概念进行了可视化呈现，对矩阵领域的核心算法进行了通俗易懂的描述，非常适合学习线性代数和矩阵论的相关人员阅读。

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