我给个路线您看是不是合适,先讲有限覆盖等实数的七大基本定理,然后再讲连续、微分、积分,接下来因为代数上实数是域,所以倒数函数是存在的,再由倒数函数的积分得出对数函数的存在,再由对数函数是单射函数得出其反函数指数函数存在,至于三角函数要扩展到复数域上,按前所述,复数域上由倒数函数也可得到指数函数的存在,而这个指数函数其实蕴含着三角函数,至此初等函数的存在性就严密了、踏实了 
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