1.全相位预处理数据两端连续,DFT周期加长时信号连续,频谱分析中频谱泄露小.

2.全相位预处理中2N-1数据加线性卷积窗,移位相加产生的是N阶循环卷积窗,泄露平方减小

下面讨论全相位预处理三角函数的另一种时域特性-非整周期采样时的正交性和整周期性

图1 全相位预处理数据的组成(N=8)

若采样频率对exp(j*(2*pi*m/N+p0))信号s整周期采样,N个采样相加等于零, 若非整周期采样，N个采样和振幅等于sinc(pi*m),这是数字滤波中数据泄露,信号正交性和整周期性破坏

若采样频率对全相位预处理ap_exp(j*(2*pi*m/N+p0))信号整周期采样，N个采样相加等于零, 若非整周期采样，N个采样和振幅等于sinc(pi*m)^2,数字滤波中数据泄露平方减小

字滤波中数据泄露平方减小

数学证明如下:

                图2 非整周期采样数据泄露对比全相位非整周期采样数据泄露

图2是非整周期采样数据泄露对比全相位非整周期采样数据泄露.f是整数(整周期采样),数据泄露等于零,f是非整数(非整周期采样),数据泄露不等于零,f越大,数据泄露越小, 全相位数据泄露平方减小.

     图3 非整周期采样时域波形对比全相位非整周期采样时域波形(f=3.0-3.8)

图3是非整周期采样时域波形对比全相位非整周期采样时域波形

图3a)是整周期采样f=3.0时域波形.波形正负相等,

图3(c),(e),(g),(i)是非整周期采样f=3.2,f-3.4,f=3.6,f=3.8时域波形.波形正负不相等,正交性和整周期性破坏,数据泄露,图2(e)黑色面积相加等不于零.最左的近半周期正弦波是数据泄露

图3(b)是全相位整周期采样f=3.0时域波形.波形正负相等,

图3(d),(f),(h),(j)是全相位非整周期采样f=3.2,f-3.4,f=3.6,f=3.8时域波形.波形对中心反对称,波形正负相等,数据泄露小.图3(f)黑色面积相加等于零,数据泄露近似等于零.比图2(e)明显小

图3是初相0的sin采样全相位时域波形.波形对中心反对称,波形正负相等,其他相位的全相位时域波形有区别

从图3可看到三角函数sin(nx)通过全相位预处理后时域波形有round(n)个整周期(不是精确的4舍5入)

如图3(c)三角函数sin(3.2*x)全相位预处理前有3.2个周期,图3(d)全相位预处理后波形正好有round(3.2)=3个整周期

如图3(e)三角函数sin(3.4*x)全相位预处理前有3.4个周期,图3(f)全相位预处理后波形正好有round(3.4)=3个整周期

如图3(g)三角函数sin(3.6*x)全相位预处理前有3.6个周期,图3(h)全相位预处理后波形正好有round(3.6)=4个整周期

如图3(i)三角函数sin(3.8*x)全相位预处理前有3.8个周期,图3(j)全相位预处理后波形正好有round(3.8)=4个整周期

从图3还可看到round(n)个周期长度不一样长.是准整周期采样

非整周期采样的三角函数通过全相位预处理后变成准整周期采样

这个特性还没有数学证明.从全相位预处理三角函数的组成看(图1),三角函数全相位预处理后的N个采样左端的大部分是2N-1中点采样的右边项组成,右端的大部分是2N-1中点采样的左边项组成,即全相位预处理三角函数的2端是从中间切开形成的,所以全相位预处理数据两端连续,又整周期.图4中f从0.6变到1.4的全相位预处理三角函数的2端波形是相同的,频率变化只是中间波形有变化

如图4(a)三角函数sin(0.6*x)全相位预处理前有0.6个周期,图4(b)全相位预处理后波形正好有round(0.6)=1个整周期

如图4(c)三角函数sin(0.8*x)全相位预处理前有0.8个周期,图4(d)全相位预处理后波形正好有round(0.8)=1个整周期

如图4(a),图4(c)三角函数全相位预处理前波形<1个周期,全相位预处理后波形变成正好1个整周期.全相位预处理效果很清楚

     图4 非整周期采样时域波形对比全相位非整周期采样时域波形(f=0.6-1.4)

这个特性包含有什么意义?任何频率,任何N值(数据长度),任何初相位的非整周期采样三角函数通过全相位预处理后都有这个特性.这个特性(自身数据移位相加可以改变周期)很特别,其他正交函数(如walsh函数)没有这个特性

非整周期采样的三角函数也可通过加窗使数据两端连续,频谱分析中频谱泄露小.但加窗后数据并没有变成整周期采样,加窗只改变包络,中间波形没有改变.这里可以看到全相位预处理和加窗的差别.全相位预处理是线性卷积窗+移位,这里移位是关键.

因为是自身数据移位相加,移位在DFT中是乘一个相位,所以全相位预处理后的三角函数及其频谱仍然保持原三角函数的特性.和单个DFT频谱比较有变化,但是变得更好,更正确.泄露平方减小,初相位正确

这个特性说明三角函数自身修复能力非常好,一个非整周期采样的,正交性破坏水平的三角函数通过全部 N个不同起始相位自身数据移位相加(全相位预处理)变成准整周期采样,

全相位IQ正交相位解调算法中,IQ信号是整周期采样.数据是非整周期采样.还能正确解调相位是因为这个特性

apfft水平相位特性是因为这个非整周期采样全相位处理三角函数的正交性和整周期性.没有想到30年前的重叠数字滤波方法会延伸到非整周期采样全相位处理三角函数的正交性和整周期性

(见下面apDIQ程序)

整周期采样(m,n=1,2,...)三角函数正交性数学公式

                  图5 三角函数正交性

三角函数正交性有2个方面:1对单一三角函数,采样周期中波形正好有整数个整周期,采样周期中N个采样相加等零2 对两个三角函数,m=n时其内积为pi, m不等於n时为另.

三角函数非整周期采样全相位预处理后的正交性指第一方面,即单一三角函数采样周期中波形正好有整数个整周期,采样周期中N个采样相加等零

对非整周期采样全相位预处理后的两个三角函数,m=n时其内积为pi, m不等於n时(相差不大时)并不等於零,而大於零.这样apIQ解调时,当信号频率偏离IQ信号频率时,仍可正确解调相位.这也是apfft中,当信号频率偏离主谱线频率时,在主谱线上仍可正确读出相位的原因,也是apfft具有水平相位特性的原因--非整周期采样的三角函数全相位预处理后变成整周期.

任德柱,邵高平,程娟. MIT中的一种基于全相位的IQ正交相位解调算法[J]. 信息工程大学学报.2014-04

摘要:针对MIT系统相位解调过程中信号非整周期采样以及奇异点对相位测量精度的影响,提出一种基于全相位的IQ正交算法,该算法通过对测得的数据进行全相位处理,再进行正交变换,从而有效提高了信号解调精度。通过实验表明,相对传统IQ正交算法,该算法能够降低信号非整周期采样以及奇异点对相位测量精度的影响,且计算复杂度低,运算速度快,能对相位差进行更为实时精确的测量。

关键词:磁感应断层成像； 相位测量； 全相位； IQ正交算法；

一文中提出全相位数字IQ算法,给出初步数学证明.

非整周期采样时全相位预处理三角函数具有正交性.非整周期采样时全相位预处理三角函数的正交性和整周期性

一般的IQ正交相位解调算法中, 数据与IQ信号都是整周期采样.

全相位IQ正交相位解调算法中,IQ信号是整周期采样.数据是非整周期采样.数据先全相位处理

或者全相位IQ正交相位解调算法中,IQ信号与数据是相同的频率,都是非整周期采样.IQ信号与数据都先全相位处理

N阶apDIQ需要2N-1数据,与使用数据量相等2N阶DIQ比，apDIQ鉴相精度更高.因为数据加长数据泄露还有,IQ算法中数据加长也不会提高频谱分辨力

全相位处理能降低信号非整周期采样影响,数字滤波中数据泄露平方减小(apDIQ),频谱分析中频谱泄露平方减小(apDFT)

用2阶卷积窗的全相位处理能降低数据泄露平方减小,如果用高m阶卷积窗,数据泄露m次方减小

3种数字相位测量法(数字相关相位测量法,数字IQ正交相位解调法,DFT相位测量法)解调过程中都有信号非整周期采样对测量精度的影响,都可通过对测得的数据进行全相位处理,再进行解调 

全相位DFT相位测量法(全相位预处理+FFT),见王选钢等文 

全相位数字IQ正交相位解调法(全相位预处理+IQ正交变换),见任德柱文

全相位数字相关相位测量法(全相位预处理+数字相关),见梁浴榕文

董雅洁文比较四种常见数字算法鉴相方法(相关,IQ正交,DFT, apFFT)

但对全相位数字相关相位测量法,全相位数字IQ相位测量法,全相位FFT相位测量法,哪一种计算复杂度低,运算速度快,精度最高?

涂亚庆;苏丹.一种基于希尔伯特变换的互相关相位差测量方法[P]. CN103760418A, 2014-04-30也有信号非整周期采样对测量精度的影响,可通过对4个数据都进行全相位处理,再进行解调,

梁浴榕.外差激光干涉仪中的高精度相位测量研究[D]. 华中科技大学2013

【作者基本信息】 华中科技大学， 无线电物理， 2013， 博士

【摘要】…..针对地面的激光干涉测距系统，我们发展了基于相关分析的相位测量技术，其基本原理是正弦信号的互相关函数零时刻值与其相位差的余弦值或正弦值成正比。我们比较了反正弦算法和反正切算法的优缺点；在选取了反正切算法之后，分析量化误差与随机误差的影响，着重讨论了非整周釆样相位误差的影响，首次推导了非整周采样相位测量误差的表达式，这也是本文的创新点之一；最后，通过双路信号的差分测量实现了在lmHz~10Hz频段相位测量噪声本底达到1.2xl0_6 rad/Hz1/2，并验证了非整周釆样误差的影响。实验结果表明，尽管该技术的测量噪声本底小，但不能满足未来星间激光测距中由于卫星间的相对运动造成的多普勒频移高达1MHz以上的条件。

【关键词】 激光外差干涉测距； 高精度相位测量； 相关分析； 锁相环相位计； 定位控制； 外差锁相；

DIQ and apDIQ program

T=19;

k=1;

while T>0

N=128;fn=10.;f=9.+0.1*k;

win=ones(1,N);

%win=hanning(N)';

win1=win/sum(win);

w=pi*2;

t=0:N-1;

s1=cos(w*t*f/N+pi/180*180);

i=cos(w*t*fn/N);

q=sin(w*t*fn/N);

I1=sum(s1.*i);

Q1=sum(s1.*q);

F1=I1-j*Q1;

p1(k)=mod(phase(F1)*180/pi,360);

N=128/2;

t=0:N-1;

i=cos(w*t*fn/N);

q=sin(w*t*fn/N);

win=ones(1,N);

%win=hanning(N)';

win2=conv(win,win);

win2=win2/sum(win2);

t=0:2*N-2; t=-N+1:N-1;

s1=cos(w*t*f/N+pi/180*180);

s3=s1.*win2;

s33=s3(N:end)+[0 s3(1:N-1)];

I3=sum(s33.*i);

Q3=sum(s33.*q);

F3=I3-j*Q3;

p3(k)=mod(phase(F3)*180/pi,360);

T=T-1;

k=k+1;

end

plot(p1,

'b.-');hold on

plot(p3,

'r.-');grid

legend(

'DIQ','apDIQ'); xlabel('f');ylabel('degree');

                        图7 DIQ对比apDIQ相位特性 

下面DIQ/apDIQ校正程序,可以校正频率，振幅，相位

N=128;

f=19.2;

fn=19;

p0=100;

A=0.777;

win=ones(1,N); win=hanning(N)';

win1=win/sum(win);

w=pi*2;

t=0:N-1;

s1=A*cos(w*t*f/N+pi/180*p0)+0*rand(size(t));

s1=s1.*win1;

i=cos(w*t*fn/N);

q=sin(w*t*fn/N);

I1=sum(s1.*i);

Q1=sum(s1.*q);

F1=I1-j*Q1;

p1=mod(phase(F1)*180/pi,360);

a1=abs(F1);

N=128;

t=0:N-1;

i=cos(w*t*fn/N);

q=sin(w*t*fn/N);

win=ones(1,N); win=hanning(N)';

win2=conv(win,win);

win2=win2/sum(win2);

t=-N+1:N-1;

s1=A*cos(w*t*f/N+pi/180*p0)+0*rand(size(t));

s3=s1.*win2;

s33=s3(N:end)+[0 s3(1:N-1)];

I3=sum(s33.*i);

Q3=sum(s33.*q);

F3=I3-j*Q3;

p3=mod(phase(F3)*180/pi,360)

a3=abs(F3);

AA=(a1.^2)/a3*2

ff=fn+mod((p1-p3)/180/(1-1/N),1)

DIQ波形对比apDIQ波形

图8是整周期采样(f=3.0)DIQ波形对比apDIQ波形

图8(a)是DIQ输入正弦信号sin3t(t=2*pi*n/N,n=1,2,...,N-1),整周期采样.图8(c)是i信号cos3t,整周期采样.图8(e)是i.*x波形,cos3t*sin3t=1/2*sin6t正弦波,整周期采样.图8(g)是q信号sin3t,图8(i)是q.*x波形,sin3t*sin3t=1/2-1/2*cos6t,加直流f=6余弦波,整周期采样

图8(b)是f=3.0时apDIQ输入信号,整周期采样.图8(d)是f=3.0时i信号,整周期采样.图8(f)是i.*x波形,,f=6正弦波,整周期采样.图8(h)是q信号sin3t,图8(j)是q.*x波形,加直流f=6余弦波,整周期采样

DIQ 和apDIQ波形全是整周期采样

            图8 整周期采样时域DIQ波形对比apDIQ时域波形(f=3.0)

图9是非整周期采样(f=3.3)时域DIQ波形对比apDIQ时域波形

图9(a)是f=3.3时DIQ输入信号sin3.3t,非整周期采样.图9(c)是i信号cos3t,整周期采样.图9(e)是i.*x波形,1/2*sin6.3t+1/2*sin0.3t,非整周期采样.和图8(e)不相同.图9(g)是q信号sin3t,图9(i)是q.*x波形,1/2*cos0.3t-cos6.3t,非整周期采样,和图8(i)不相同

图9(b)是f=3.3时apDIQ输入信号(全相位处理后),整周期采样.图9(d)是i信号cos3t,整周期采样.图9(f)是i.*x波形,1/2*sin6t,,整周期采样,和图8(f)类同,图8(h)是q信号sin3t,图9(j)是q.*x波形,加直流f=6余弦波,整周期采样,和图9(j)类同,

f=3,0时DIQ的i*x和q*x波形是整周期采样f=6正弦波和余弦波,DIQ测相位正确,f=3.3时DIQ的i*x和q*x波形是非整周期采样f=6.3正弦波和余弦波

,和f=3.0时DIQ的i*y和q*y波形不同,不能过滤高频部分,DIQ测相位不正确.

f=3.0时apDIQ的i*y和q*y波形是整周期采样f=6正弦波和余弦波,测相位正确,f=3.3时apDIQ的i*y和q*y波形仍是整周期采样f=6正弦波和余弦波,和f=3.0时apDIQ的i*y和q*y波形类同,能过滤高频部分,apDIQ测相位正确

所以f=3,3时DIQ测相位不正确 ,apDIQ测相位正确.从中见非整周期采样时全相位预处理三角函数的正交性(图9(b),图9(f))和整周期性(图9(b),图9(h))的作用

            图9 非整周期采样时DIQ波形对比apDIQ时域波形(f=3.3)

图10中f=3.0整周期采样和f=3.3非整周期采样时DIQ波形对比apDIQ波形放在一起,b:f=3.0和r:f=3.3,左:DIQ和右:apDIQ,x=y=sinft

图10(a)DIQ-input(x信号)中,b:f=3.0整周期采样,r:f=3.3非整周期采样

图10(b)apDIQ-input(y信号)中,b:f=3.0整周期采样,r:f=3.3整周期采样,

图10(c)DIQ-i信号中,b:cos3t,整周期采样,r:cos3t,整周期采样

图10(d)apDIQ-i信号中,b:cos3t整周期采样,r:cos3t整周期采样

图10(e)DIQ-i*x中,b:整周期采样f=6正弦波,r:非整周期采样f=0.3加f=6.3正弦波,两波形不同,

图10(f)apDIQ-i*y中,b:整周期采样f=6正弦波,r:整周期采样f=0.3加f=6正弦波,两波形类同,

图10(g)DIQ-q信号中,b:sin3t,整周期采样,r:sin3t,整周期采样;

图10(h)DIQ-q信号中,b:sin3t,整周期采样,r:sin3t,整周期采样;

图10(i)DIQ-q*x中,b:整周期采样加直流f=6正弦波,r:非整周期采样加f=0.3f=6.3正弦波,两波形不同,

图10(j)apDIQ-i*y中,b:整周期采样加直流f=6余弦波,r:整周期采样加直流f=6余弦波,两波形类同,

f=3,0时DIQ的i*x和q*x波形是整周期采样f=6正弦波,DIQ测相位正确,f=3.3时DIQ的i*x和q*x波形是非整周期采样f=6正弦波,和f=3.0时DIQ的i*y和q*y波形不同,不能过滤高频部分,DIQ测相位不正确.相位值等于sum(q.*x)/sum(i.*x)反tan

f=3.0时apDIQ的i*y和q*y波形是整周期采样f=6正弦波,测相位正确,f=3.3时apDIQ的i*y和q*y波形仍是整周期采样f=6正弦波,和f=3.0时apDIQ的i*y和q*y波形类同,能过滤高频部分,apDIQ测相位正确

    图10 非整周期采样时DIQ波形对比apDIQ时域波形(b:f=3.0 r:f=3.3) x=y=sinft

图11中x=y=cosft.所有的波形类同图10

  图11 非整周期采样时DIQ波形对比apDIQ时域波形(b:f=3.0 r:f=3.3) x=y=cosft

图12中x=y=cos(ft+pi/4).图12中所有的波形类同图10

  图12 非整周期采样时DIQ波形对比apDIQ时域波形(b:f=3.0 r:f=3.3) x=y=cos(ft+pi/4)

对于f=2.6-3.4输入信号,DIQ对比apDIQ时域波形类同图8-图12.实用中输入信号频率变化不会那么大.但apDIQ对于f变化更大输入信号,测相位仍正确.

图13中f=4.0整周期采样和f=3.7非整周期采样时DIQ波形对比apDIQ波形,b:f=4.0和r:f=3.7,左:DIQ和右:apDIQ,x=y=sinft

图13(a)DIQ-input(x信号)中,b:f=4.0整周期采样,r:f=3.7非整周期采样

图13(b)apDIQ-input(y信号)中,b:f=4.0整周期采样,r:f=3.7整周期采样

图13(c)DIQ-i信号中,b:cos3t,整周期采样,r:cos3t,整周期采样

图13(d)apDIQ-i信号中,b:cos3t整周期采样,r:cos3t整周期采样;

图13(e)DIQ-i*x中,b:调制整周期采样f=7正弦波,r:非整周期采样f=0.3加f=7.7正弦波,两波形不同,

图13(f)apDIQ-i*y中,b:,调制整周期采样f=7正弦波,r:整周期采样f=1加f=7正弦波;两波形类同

图10(g)DIQ-q信号中,b:sin3t,整周期采样,r:sin3t,整周期采样;

图10(h)DIQ-q信号中,b:sin3t,整周期采样,r:sin3t,整周期采样

图13(i)DIQ-q*x中,b:调制整周期采样f=1加f=7正弦波,r:非整周期采样f=0.3加f=7.7余弦波,两波形不同,