用apfft的证明方式证明4阶移位循环卷积窗fft的插值公式

邓振淼. 刘渝. 基于全相位频谱分析的正弦波频率估计. 《数据采集与处理》2008年第23卷第4期

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     从下面4cfft插值公式证明中,邓振淼博士的证明方法被充分使用了, apfft中有一个循环移位相加措施, 邓法的要点是用了DFT中的循环移位定理. 4cfft插值公式证明看上去很繁杂,思路即很清晰简单, 4cfft中包含了3次嵌套的移位后再作fft, 只要将3个移位找出就可以了.

   以N=3矩形窗为例    

若单频复指数信号为

n=0,1,2..................(1)
   1cfft用了1个长N序列X , 序列的采样时间见图1

              图1       1cfft的采样时间

     2cfft用了3个长N序列Xi, i=0,1,2. 这些序列中数据的采样时间见图2, 图2中x括号的标号符合n-i.

          图2       2cfft的采样时间  

右移位对x(0)对齐后的排列见图3,

    3cfft用了9个长N序列, Xi+j, i=0,1,2. j=0,1,2. 序列X的下标符号i+j, 这些序列中的数据采样时间见图4, 采样x括号内的标号符合n-i-j.

            图4       3cfft的采样时间

     3cfft采样右移位后对x(0)或x(-3)对齐后的排列见图5, 它嵌套了第1次移位作一次右移位,

               图5      3cfft移位后的排列

     4cfft用了27个长N序列, Xi+j-m,i=0,1,2. j=0,1,2. m=0,,2. 序列X的下标符号i+j, 这些序列中数据的采样时间见图6, 图6中采样x括号内的标号符合n-i-j+m.

           图6         4cfft的采样时间

     4cfft采样左移位对x(0)或x(3)或x(-3)对齐后的排列见图7., 它嵌套了前2次右移位再作一次左移位,

       图7                4cfft移位后的排列

     4cfft方框图如图8所示. 输入4N-3个采样,乘以N阶矩形窗(或N阶hanning窗)4阶卷积窗,  得4N-3个数据,前面加2个另,后面加1个另,组成4N个数据.  4N个数据分成4个长N序列,移位相加得长N序列,做N阶fft得4cfft频谱.        

                      图8                4cfft方框图

    The 4dfft 插值公式证明如下:

          N=3矩形窗4cfft包含了3次嵌套的移位,见图7.

        图3中笫1-3行,或图7中笫19-21行的DFT的和是2cfft的频谱,这3行是笫1次移位(右移),引起频谱乘一个相移.

................(2)

       图5中笫1-9行,或图7中笫19-27行的的DFT的和是3cfft的频谱,这9行是笫2次移位(右移),又引起频谱乘一个相移.

.................................(3)

       图7中笫1-21行的DFT的和是4cfft的频谱,这21行是笫3次移位(左移),又一次引起频谱乘一个负相移

.........(4)

        hanning窗4cfft插值公式

         ...............(5)

       图9 是1,2,4阶移位循环卷积矩形窗的频谱图, 由图可见,4dfft频谱的主辨宽度变窄.

       图10 是1,2,4阶移位循环卷积hanning窗的频谱图, 由图可见,对比矩形窗, hanning窗的主辨宽度变宽.

       图11是1,2,4阶移位循环卷积矩形窗的log10频谱图, 由图可见,4dfft窗频谱的衰减快.

       图12 是1,2,4阶移位循环卷积hanning窗的log10频谱图,由图可见,对比矩形窗,hanning窗频谱的衰减更快,

图9      1,2,4阶移位循环卷积矩形窗的频谱图

图10      1,2,4阶移位循环卷积hanning窗的频谱图

图11      1,2,4阶移位循环卷积矩形窗的log10频谱图

图12      1,2,4阶移位循环卷积hanning窗的log10频谱图

      全相位FFT(2cfft)的关键是全相位移位叠加后作DFT, 核心是全相位移位, 移位起了二次DFT的作用.

       4cfft是三次嵌套移位叠加后作DFT, 附加了三次DFT的作用. 第1,2次位移是右移,相当2次负DFT变换. 第3次位移是左移,相当1次正DFT变换. 加上原1次正DFT变换,共2次正DFT变换,二次负DFT变换. 使插值公式4次方,而相位不变.

        以上证明中以N=3为实例, 图1--图7都是N=3时的1cfft--4cfft的采样排列和移位后的排列, 对任意N时样排列和移位后的排列类似,但不好图示和理解, 但推算过程相同, 所以在后面的插值公式推算中, 直接用任意N长了.

        4cfft须4N-3个数据, n=-2*N+2:2*N-2. 相位谱显示的是4N-3个数据中间采样x(0)的相位. 图8的4cfft方框图中,4N-3个输入数据序列前面加2个另,后面加1个另是为了保证中间采样在移位相加后的N长序列中处在笫一位, 即对x(0)对齐移位.

        图7中可见4cfft的第1个采样和是19x(0)+4x(3)+4x(-3),fft后的相位是x(0),x(3),x(-3)3个相位之和,而4xfft的相位是第1个采样x(0)的相位,这是因为x(3)和x(-3)的相位相等又相反,抵消了.

        以上证明可用于任意阶移位循环卷积窗fft插值公式的证明,但大於4阶所用原始数据太长,而泄漏4次方己很小了.一般情况下用2阶apfft,特殊情况下用4阶4cfft,但理论上泄漏可以继续减小.

        4cfft所用原始数据4N-3太长,但由於泄漏小,镜像频谱影响小,所以N可以选择较小值,使计算量减小. 由於N值小, 4N-3个数据也不会太大, 在某些场合有实用价值. 如近频谱另轴的极低频信号检测. 4cfft是一个节省计算量的选择.

        之前还有另一法,见

4cfft插值公式证明2

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但证明2不如证明1简明.

                    图13      1,2,4阶移位循环卷积hanning窗的振幅谱,对数振幅谱和fft前的时域波形(f=14.5 N=64)

         图13 是1,2,4阶移位循环卷积hanning窗的振幅谱,对数振幅谱和fft前的时域波形(f=14.5 N=64). 频率f=14.5是最大频偏,这时fft的振幅谱图13(1)幅值0.8488,apfft的振幅谱图13(7)幅值0.7205 (=0.8488^2), 4cfft的 振幅谱图13(7)幅值0.5191(=0.8488^4)最小,fft前的时域波形图13(9)振幅最小, 但其泄漏图13(8)也最小.

         从图14(1)fft的振幅谱图见, f=14.5有二个相等幅值的峰,但旁峰很大,是峰值的 1/5. 图14(4)apfft的振幅谱图也有二个相等幅值的峰.,但旁峰减小,是峰值的 1/25. 图14(7)4cfft的振幅谱图旁峰更小,是峰值的1/625,.