【小试牛刀之遗留问题】

司马弦：“小雨，还记得上次留下来的问题吗？为什么辐射为主的宇宙，其能量密度不是和 $a^{-3}$ 而是和 $a^{-4}$ 成正比？”

张小雨：“好像算出来就是这样？至于物理上为什么是这样，还是没弄明白。”

司马弦：“上次说到，物质的密度和体积成反比，体积又和长度的三次方成正比，而长度由于宇宙膨胀而变长了，那么密度自然就和 $a^{-3}$ 成正比，这是因为非相对论物质的能量主要来自于其静质量；可是对于辐射，它的能量来自动能，从量子力学中得知， $E=h\nu = hc/\lambda$ ”,这里的 $\nu,\lambda$ 分别是辐射的频率和波长。于是，我们得到：

$\rho\sim \frac{E}{V}\sim \frac{hc}{l^3 \lambda} \sim \frac{hc}{a^4}$

看，是不是和 $a^{-4}$ 成正比呢。”

张小雨：“哦，原来是这样。”

司马弦：“所以说，光会计算还是不够的，还得理解和判断你所得的结果是否合理，这就需要有清晰的物理图像。事实上，在现代宇宙学，甚至物理学中，能够严格计算的情形并不多了，很多时候需要用到近似计算，那么最终结果的好坏将依赖于所选择的近似方法。如果你得到的计算结果和物理图像不一致，那么很有可能是近似的方法不对，或者近似条件已经被破坏了。因此，培养自己的物理感觉非常重要。当然，这也是急不得的事情，需要时间慢慢积累。”

张小雨：“嗯，记下师兄的话了。”

【宇宙学常数与真空能】

张小雨：“师兄，我按照先前的方法，计算了一下 $w=-1$ 的情形，得到 $\rho = const.$ 即常数的解，而且宇宙是成指数膨胀的 $a\sim e^{Ht}$ 。如果是这样的话，那么随着宇宙的膨胀，它的能量不是越来越大了吗？这跟物质、辐射都不一样呢。”

司马弦：“你所计算的情形就是宇宙学常数作为主要成分的宇宙，它的能量密度就是一个常数，因为宇宙学常数本身就假定为常数嘛。虽然，随着宇宙膨胀，它的能量会变得越来越大，但是总的能量并没有增大，实际上是时空的能量转化给了宇宙学常数所代表的真空能。”

张小雨：“师兄，你说的真空能是量子力学中的那个真空能吗？它和宇宙学常数又有什么关系呢？”

司马弦：“是的。我说的真空能是某个量子场的真空能，它和你见到的量子力学的真空能本质上没有太多区别。我们知道经典力学中是没有真空能这个概念的，只有在量子力学的范畴内，才会讨论真空能。在量子场论中，所有的基本粒子都是它的真空能的激发态。当然，这一说法并不严格，但是对于我们理解真空能是有帮助的。”司马弦接着说道：“通过简单的计算，你会发现真空能是一个常数，而且是一个很大的常数。由于它是一种能量，它也能引起时空的弯曲。不过，你也可以把这个常数，人为地放到爱因斯坦方程的左边，那么它的地位就相当于爱因斯坦当年引入的宇宙学常数了。”

张小雨：“哦，可是我听说在量子场论中，计算的真空能是一个无穷大？这又是怎么一回事？”

司马弦：“因为这个计算近似是这样的：

$\rho \sim \int_0^\infty k^3dk$

很明显，它是一个发散的积分。不过，在现有的量子场论框架中，这个积分是不能积到无穷大的，因为在那时，量子场论就已经失效了，必须要对其进行引力的修正，这就是传说中的量子引力理论。但是，自洽的量子引力理论还没有被发现，所以我们不得不采用一个折中的方案，给这个积分一个截断， $k_{max}$ ,并假设这个截断之下的量子场论是有效的，不需要引力修正的。”司马弦思索了一下，接着说道，“通常，这个截断会选的比较大，比如大统一能标，甚至是普朗克能标。可是，当前的观测表明，宇宙的真空能实际上是非常小的，因此，宇宙学常数作为暗能量的候选者有着它自己的痛。关于暗能量，咱们以后再聊。”

张小雨：“现在明白了，宇宙学常数和真空能实际上没有太大的区别，它们都代表一种能量密度为常数的宇宙组分，并且在这种组分为主的宇宙中，宇宙是成指数膨胀的，俗称暴涨。”

【广义相对论vs牛顿万有引力】

(博主按：写这一节，是起源于科学网网友lrx的提问，可能很多人都想了解一下广义相对论是如何处理引力问题的，虽然有些时候有点用牛刀杀鸡的感觉，但从简单的例子来了解广义相对论，也未尝不是一件好事。)

张小雨：“师兄，虽然我算了一堆，但对广义相对论还是没有太多感觉，你能举个例子吗？”

司马弦：“好的。首先，我们来具体理解一下度规。比如，一个三维空间的度规写成：

$ds^2 = dx^2 + dy^2 +dz^2 = g_{ij}dx^idx^j$

或者写成：

$g_{ij} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0& 1 &0 \\ 0& 0 & 1 \end{pmatrix}$

那么，就可以这样计算三维空间两点之间的距离

$\Delta S = g_{11}(x_1-x_2)^2+g_{22}(y_1-y_2)^2+g_{33}(z_1-z_2)^2 \\ =(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2$

推广到四维也是一样的。”

司马弦接着说：“现在，我们考虑一个球对称物体，比如地球、太阳，通过求解爱因斯坦方程，来得到这个球对称物体之外的度规，这就是著名的Schwarzschild解。根据对称性，我们可以假设度规是这样的（球坐标）：

$ds^2 = -A(r)dt^2 + B(r)dr^2 + r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2$

这里的A,B是待定的函数，也就是我们要求解的函数。好了，比较痛苦的事情来了，计算联络、曲率张量：

$\Gamma^r_{rr} = \frac{B'}{2B}, \cdots , R_{tt} = \frac{A}{2B}-\frac{A'}{4B}\left(\frac{A'}{A}+\frac{B'}{B}\right) + \frac{A'}{rB},\cdots$

这里就不一一展示了。因为我们所求的是真空解，爱因斯坦方程的右边设成零即可。最终得到的Schwarzschild解如下：

$ds^2 = -\left(1-\frac{2GM}{r^2} \right )dt^2 + \left(1-\frac{2GM}{r^2} \right )^{-1}dr^2 + r^2d\Omega^2$

这里的 $d\Omega^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2$ 。接下来，把这个度规带入到测定线方程中：

$\frac{d^2x^\mu}{d\lambda^2} + \Gamma^\mu_{\rho\sigma}\frac{dx^\rho}{d\lambda}\frac{dx^\sigma}{d\lambda} = 0$

通过求解这个方程组，我们就能得到一个物体是如何在时空中运动的。比如，在太阳引起的弯曲时空中，地球、水星等的运动轨道 $x^\mu$ 。由于这个方程组不太容易直接求解，通常我们会利用对称性和守恒量来简化计算，这里就展示一下其中的一个方程：

$\frac{d^2u}{d\phi^2} + u = \frac{GM m^2}{L^2} + \frac{3GM}{c^2} u^2$

其中， $u=1/r$ ，L是轨道角动量（守恒量）,r是地球、水星或者其他星体到太阳的径向距离。上面这个方程右边的第一项可以从牛顿力学得到（参考力学教程），第二项是广义相对论的修正。这两项的比值大概是：

$\left(\frac{L}{mrc} \right )^2 \approx \left(\frac{v}{c} \right )^2$

这下你看到广义相对论与牛顿力学的区别了吧？在低速近似下，广义相对论将回到牛顿力学。至于上面这个方程如何求解，是个纯数学问题，就不再展开了。另外，通过求解该方程，还可以计算出水星近日点的进动角。在牛顿力学中，我们无法解释水星每世纪43"的进动角，有了广义相对论的修正，却可以很好得解释它，这也正是广义相对论的成功之处。当然，太阳系中，其他的每一颗行星都有进动角，只是它们的相对论效应比较小，用牛顿力学就足以能够解释了。”

（未完待续……，预告：下次会讲到宇宙中的视界）