本篇博文继续介绍Copula熵（Copula Entropy：CE）的多学科实际应用，包括其在理论物理学、水文学、运动神经学和社会学的应用。其中，水文学的应用包括了其在黄河流域的干旱研究和南水北调工程丹江口水库的入库径流预报研究中的水文模型构建的工作。前文已经介绍了CE在长江流域洪水预报的应用。CE在神经科学的应用已经涉及了认知神经学、运动神经学和计算神经学等重要领域。

理论物理学

热力学是一门古老的理论物理学分支，在 19 世纪由克劳修斯、波尔兹曼和吉布斯等人建立，研究物理系统的宏观状态（如温度）与其微观状态之间的理论联系。熵和热力学第二定律是其最为核心的理论内容。香农的信息论就是受热力学的熵概念启发而建立的。一直以来，热力学和信息论之间的理论联系就是相关领域的重要话题之一。 CE 是从信息论领域提出的数学概念，它的物理意义和解释一直未得到研究。马健 [1] 将 CE 理论应用于平衡态相关粒子系统中熵的推导和计算，给出了 CE 的热力学解释，建立了热力学和信息论之间的又一理论联系。

水文学

干旱是一类重要的水文事件和影响重大的自然灾害之一。频发的干旱严重影响着我国的经济社会安全，特别是黄河流域的干旱威胁尤其严重，迫切需要开展流域干旱驱动和预测的研究。温云亮等 [2] 利用 CE 理论分析了河南省1951–2014 年逐月气象数据，发现在众多驱动因子中，降水量、气温、水气压和相对湿度对干旱发生的影响最大。黄春艳 [3] 研究了黄河流域的气象、水文和干旱之间的关系，探讨了干旱的驱动机制，给出了气象干旱和水文干旱的概念，并提出利用 CE 方法探究二者之间的动态非线性响应关系，通过分析黄河流域不同区域水文站的气象和水文干旱指数，得到了水文干旱对气象干旱的滞后效应时间，为应对干旱事件提供了参考。

南水北调工程是当今世界最大的水利工程，承担着从长江的汉江流域丹江口水库向北方地区城市调水的战略任务。准确的入库径流预报是科学合理的供水调度的前提条件，能够使工程更充分高效地利用自然界的水资源。但传统方法构建的预报模型很难满足调水预报精度的要求，原因在于传统分析方法不能处理水文系统的非线性特性，导致了构建的入库径流预报模型不合理从而预测性能不高。黄朝君等 [4] 构建了丹江口水库的月入库径流预报模型，利用 CE选择了一组气象水文因子作为模型的输入，得到的模型具有明显优于传统模型的预报性能。模型成功的原因在于采用 CE 选择的预报因子与中长期入库径流密切相关，印证了印度洋偶极子事件和南海副高活动与汉江流域夏季强降水之间的内在联系，符合自然界水文系统的运行规律。

运动神经学

肌肉协同（Muscle Synergy）是运动的基础，指人完成各种动作时肌肉组合之间时空上的动作协同。人体的运动控制系统是一个具有冗余自由度的系统，一般认为神经系统通过运动基元的组合协同策略来完成一个动作。运动控制研究的一个重要基本问题是鉴别运动控制中简化的基本肌肉协同策略。通过分解运动过程的 EMG（Electromyographic）信号数据理解运动控制潜在的基本协同机理是基本研究手段，但如何处理信号中的非线性是主要的难题之一，基于 CE的 互信息（Mutual Information：MI）估计是处理此难题的有力工具。 Wu 等 [5, 6] 将多元变分模态分解与基于 CE 的 MI 相结合，构建了肌肉耦合网络模型，基于表面 EMG 数据分析了健康人伸手运动过程中上肢肌肉间的时空协同，成功刻画了肌肉耦合关系强度。Reilly 和 Delis[7] 提出利用基于 CE 的 GCMI 来度量 EMG 信号之间的时空关联关系，再利用矩阵分解的降维方法来发现 EMG 信号时空关联中的基本的肌肉协调模式。他们采集了人执行点到点动作运动的 EMG 数据，将方法应用于数据，得到了有生理学意义的肌肉协同时空模式。

社会学

性别不平等是社会学研究的问题之一。由性别视角，我们可以发现很多不平等现象，如两性在收入上、教育上、职业上的不平等等。分析和鉴别导致不平等现象的社会学因素是学者们关心的问题，利用定量方法分析相关社会学数据是研究的手段之一。然而各种社会因素之间的因果链条十分复杂，需要采用科学的数据分析工具加以应对。马健 [8] 提出了一种多域因果关系鉴别方法，将性别因素作为社会外在变量，将不平等问题转化为数据分析中的域迁移问题，利用基于 CE 的条件独立性测试发现社会变量之间的因果关系。他将方法应用于美国国家成人收入社会调查数据，分析了性别、教育和收入之间的因果关系链条，发现了性别导致教育不平等，进而造成收入不平等的科学证据。

更多CE的相关内容，请见如下综述论文：

马健. Copula熵：理论和应用. ChinaXiv:202105.00070 (2021).

参考文献

1. Jian Ma. On thermodynamic interpretation of copula entropy. arXiv preprint arXiv:2111.14042, 2021.

2. 温云亮, 李艳玲, 黄春艳, and 张泽中. 基于 copula 熵理论的干旱驱动因子选择. 华北水利水电大学学报 (自然科学版), 40(4):51–56, 2019.

3. 黄春艳. 黄河流域的干旱驱动及评估预测研究. 博士论文, 西安理工大学, 2021.

4. 黄朝君, 贾建伟, 秦赫, and 王栋. 基于 copula 熵-随机森林的中长期径流预报研究. 人民长江, 52(11):81–85, 2021.

5. 吴亚婷, 佘青山, 高云园, 谭同才, and 范影乐. 多尺度肌间耦合网络分析. 生物医学工程学杂志, 38(4):742–752, 2021.

6. Yating Wu, Qingshan She, Hongan Wang, Yuliang Ma, Mingxu Sun, and Tao Shen. R-vine copula mutual information for intermuscular coupling analysis. In Proceedings of the 11th International Conference on Computer Engineering and Networks, pages 526–534, 2022.

7. David ó' Reilly and Ioannis Delis. A network information theoretic framework to characterise muscle synergies in space and time. Journal of Neural Engineering, 19(1):016031, feb 2022.

8. Jian Ma. Causal domain adaptation with copula entropy based conditional independence test. arXiv preprint arXiv:2202.13482, 2022.