2 凸函数

2.1 定义

函数，如果在函数f的定义域内的任意两点x,y，任意有：

则称函数f为凸函数

从几何意义上讲，设函数f曲线上的两个数据点和，那么连接两个数据点的线段称之为弦。

如果一个函数f的定义域内的两个点的弦在函数曲线上方，则称函数是严格凸的（反之为严格凹的）。（判定准则）

仿射函数（包含线性函数）是既凸又凹的函数；如果一个函数是既凸又凹的函数，则其是仿射函数。

假设函数f一阶可微，则函数f为凸函数的充要条件是：domf是凸集且对于任意下式成立：

  (判定准则)

假设函数f二阶可微，则函数f为凸函数的充要条件是：domf是凸集且对于任意​下式成立：

(判定准则)

2.2 常见的函数的属性

R上的凸函数

指数函数。任意,函数在上是凸的。

幂函数。  当或时，在上是凸函数；当时，在上是凹函数。

绝对值幂函数。当时，函数在R上凸函数

对数函数。函数在上是凹函数。

负熵。    函数在其定义域上是凸函数。（定义域为，当x=0时函数值为0）

上的函数

范数。上任意范数均为凸函数。

最大值函数。函数在上是凸的。

二次-线性分式函数。在其定义域内是凸函数。

指数和的对数函数。函数在是凸函数。

几何平均。几何平均函数在定义域内是凹函数。

对数行列式。函数在定义域上是凹函数

参考书籍：

[1] 凸优化.王书宁等译.清华大学出版社（P60-68）

[2] convex optimization.Stenphen boyd