https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/14786435.2021.1925770

A geometry-based relaxation algorithm for equilibrating a trivalent polygonal network in two dimensions and its implications

缘起

这是我的第5篇交叉学科论文，所有5篇论文都充分体现了无知者无畏。除了最经典文献，后续研究中的公式、算法和理论基本看不懂。我的这些研究也没有明确的目的和问题，思路也很模糊，只是觉得很有意思值得一试，或许就是脑子一抽，感谢家人支持。我把这些研究当着成年人的玩具，只用花些小钱，多了也花不起。这些研究的好处就在于需要长时间的思考，有空就琢磨琢磨，这样就没时间无聊得思考人生意义，感觉生活很充实幸福。当然，我也相信肯定能揭开谜底，因为牛顿同志说过Nature does nothing in vain。

这一篇特别有意思，设计算法本来是为了通过实践来检验我之前提出的ellipse packing假说，最后的结果既出乎意料，又觉得理当如此。不为别的，只为对称的美。我不曾有过算法设计经验，唯一的信心来自于不知道谁说的“拼音和汉字规则都是算法”；我的编程也很烂，感谢国威的编程工作。关于这项研究之前写过一篇科研笔记，但直到写出最终版才把思路理顺。另外，上一篇介绍有个关键表述搞错了，所以在次专门介绍下。

此外，由于研究的现象在各个领域广泛存在，因此引用时特别谨慎小心生怕出错。有个审稿人，估计是NASA的，说必须要跟一些大尺度现象进行对比，如太阳表面粒化结构。看完审稿意见既兴奋又担心，最后用很相似的Benard对流讨论一番过了关。所以，跨学科找乐子就是找虐，虐心又虐钱。所有这些工作都可追溯到D’Arcy Thompson，忙完手头的文章，准备写一篇膜拜找虐祖师的科普文。

卖瓜时间

这些研究启发我相关特点可以在医疗美容方面得到应用，也正在申请一个专利。人体及各种器官内外表面都由上皮覆盖，发挥重要的保护和分隔功能。有研究说癌症主要从上皮开始。皮肤斑点和异常可以基于上皮细胞的几何和拓扑特征、以及颜色的变化进行判断，那么借助高精度活体观察可以在肉眼看不见时就发现有问题的皮肤，从而提早介入。科幻电影中有个场景是迅速修复皮肤，现有技术完全可以初步实现，但缺乏整合和理论指导，有兴趣（和钱）的可联系我。这是孕育大鲨鱼的汪洋大海。车啊手机啊都只为方便生活，把自己搞的美美的、身体棒棒的，才是真的热爱生活、真的对自己好。卖瓜主要是觉得我的科研还可以抢救下，而偏实践的研究需要经费支持。

干货来了

从原子到天文尺度，从动物到植物，二维多边形网络结构广泛存在，其拓扑特点是三边交于一点。二维网络的变化涉及几何和拓扑两类，前者包括顶点坐标、边长、内角和面积，后者则是边数。模拟二维网络动态变化的经典方法主要有顶点模型（Vertex model）和Potts模型，后者是伊辛（Ising）模型的推广。Vertex model的优点是可以追踪每个细胞的几何和拓扑参数，其核心是退火—即多边形网络的平衡。平衡表现为多边形看起来更‘圆’，角度更加集中。经典的Force-based Vertex model是物理模型，需要复杂的计算，且标准不统一难以重复。我们发展了一种Geometry-based Relaxation Algorithm，用于模拟退火，也用于实践检验Ellipse packing假说。这种新算法仅仅依赖一个几何规律：正n边形相邻顶点到中心连线夹角为2π/n。椭圆内接最大n边形相邻顶点的离心角之差也是2π/n。根据Ellipse packing，所有细胞都是椭圆内接多边形，倾向于形成椭圆最大内接多边形。

算法的核心：相邻顶点旋转角之差倾向于为2π/n。顶点移动方法：1、每个顶点对应三个顶角，按最大顶角将顶点降序排列，退火时依序移动；2、如果顶点已经在三角区域、或移动导致三个顶角平方和变大、或移动导致顶角大于180度，那么跳过，移动下一个。

图1 算法示意图。（A）椭圆上点P的离心角Φ和旋转角φ；（B）蓝虚线为中心到顶点连线，红虚线与蓝虚线一一对应，相邻红虚线夹角为2π/n，用最小二乘法可以计算红虚线与x轴的角度；（C）每个顶点V 对应三条红虚线，三条虚线中心C即为顶点的目标坐标。

这个更干—退火模拟结果

1.     Voronoi细胞是椭圆内接多边形，我们的退火算法可以将其变成椭圆内接最大多边形，当然只是近似哈。从统计上，Voronoi细胞和退火细胞都符合Lewis’s law和Aboav-Weaire’s law，支持ellipse packing假说。依然记得2018年第一次用细胞顶点坐标拟合出椭圆时，心中波涛汹涌。后来发现几十年前就有人干过，而且很多个领域都这么干过，不过居然没有人往椭圆最大内接多边形这个角度想，也没人去改造相关公式，估计他们都没看过颗石藻的椭圆形外骨骼。

图2 退火效果。左图退火前，右图退火后。边缘点保持不动。虚线是拟合的椭圆。

2.     退火导致大于6边的细胞变大，导致小于6边的细胞变小，6边形轻微变化，这与von Neumann-Mullins‘s law一致，也与二维肥皂泡观察结果一致。分析出这个结果的时候好激动啊！这个公式是大神von Neumann的游戏之作，只依据一条假设：内角为120度。这个假设可以从三边交于一点得出，只是统计平均。我们的算法基于一条几何规律，具有更普遍的意义。由此，我们推测非生命细胞的生长实际是由退火直接驱动，生命细胞显然需要一套应对退火的机制以维持细胞面积和边数的保守分布。

3.     发现Voronoi细胞越大，边长越短，反之亦然；这个关系在退火后消失。退火导致大细胞平均边长变长，小细胞平均边长变短。退火导致内角往120度集中，跟之前二维生物细胞的观察结果一样。生命细胞充分利用了退火对角度的改变，但利用分裂来控制细胞面积、边数和边长及它们的分布。

4.     基于Lewis’s law和Aboav-Weaire’s law，大细胞的相邻细胞小而多，小细胞的相邻细胞大而小。所以，大细胞倾向与小细胞做邻居。如果一个大细胞和一个小细胞共用一条边，那么退火给予边两侧细胞完全相反的作用，可能导致这个共有边不稳定。这条边可能是发生拓扑变化的位置，Gibson等报道果蝇翅膀细胞的分裂就是切割这条边。特别需要注意的是：生命细胞和非生命细胞采取的拓扑变化完全相反。但一些特殊结构，比如Benard对流，具有所有拓扑变化形式（分裂与融合、三边形消失与出现、边转移从大到小与从小到大），似乎介于生命与非生命之间，神奇！

5.     基于Lewis’s law可以解释边分布的上下限。如果分裂导致一个子细胞为三边形，那么另一个子细胞边数就比母细胞多，这违反Lewis’s law，所以生物细胞边数下限是4。非生命细胞则没有这种限制，边数下限可以为3。至于上限，二维网络可以看着交叠椭圆的密铺，覆盖效率随边数增加而提高，但很快饱和，饱和点即为上限。

总结—公式靠猜

这个退火算法只基于正多边形的一条几何规律，如果是对的，将对一些相关模型有启发意义。退火后，细胞却变成了椭圆的最大内接多边形，有点取法其上、得乎其中的感觉。

下面公式可以用于模拟二维结构的动态变化，公式（1-4）分别是欧拉公式，Lewis’s law，Aboav-Weaire’s law和von Neumann-Mullins‘s law。只有欧拉公式和公式（2）是严格证明的，其他都还只是经验公式。贝壳是生物矿化现象，但属于non-living结构，翻译起来好别扭，就把英语留着了。2019年PeerJ文章中，我们认为公式（2-3）分别反应了将圆变形为椭圆导致的对细胞面积和相邻关系的影响。这些公式将局部和整体，拓扑和几何联系起来。

其中，二维网络包括F个多边形细胞，V个顶点，E条边；三边交于一点，所以平均边数为6；公式（2）是苏化明推导的最大内接n边形面积A的计算公式，直接搬过来用于替换旧的线性公式，a和b分别是椭圆长短半轴；m是n边形的相邻细胞的平均边数，μ₂是边数分布的二阶矩；K是常数。公式（2’）是猜的，原则是：接近正六边形网络结构时，μ₂等于0从而退化成公式（2）。公式（3）中a/b是猜的，似乎有效。公式（4）中m原为6，改动后更好用。公式（2-4）当然应该进一步优化，我就无能为力了。

细胞分裂对面积扰动极大，所以生物细胞的面积主要受自身控制，但内角受退火影响而往120度集中。分裂这种拓扑变化是二维生命结构超越von Neumann-Mullins‘s law的“小花招”，即便如此，正如D’Arcy Thompson所指出的，生命必须服从物理和数学规律。

胡言乱语博君一笑

1、 如果二维是ellipse packing，三维是ellipsiod packing吗？公式（2-4）相应的三维形式会是什么？三维的最大问题是欧拉公式不足以判定三维结构是否密封，麻烦很大。之前不知道Thompson最晚在1942年就思考过，有次把他一千多页的大砖头书随便一翻居然看到，忍不住吐槽下Thompson为何不出个精简版。足球烯中有同样的问题，可以用螺旋算法暴力解决。

2、 从原子到天文尺度，作用力差异巨大，而这些公式具有普遍适用性，难道有啥深层原因！Thompson说结构就是一副力图，那么顶点、边、角和面积分别有什么物理学意义？最奇怪的是面积，二维肥皂泡通过气体交换来改变面积，在原子和天文尺度细胞交换什么？空？无？

3、 Benard对流兼具生命和非生命二维网络的特点，又与NS方程、反应扩散模型和伊辛模型有关联，还与太阳—地球生态系统的主要能量来源—表面粒化结构相似。这么个极简单而又极重要的实验，但其表面动态变化缺乏定量分析，实在让人难以置信。我赶脚最原始的生命小泡就是起源于有机分子形成的Benard对流。

4、 赞美大神欧拉，衪的智慧之光遍照世间至微至幽、至广至大，衪的思想掌控一切有形无形、活的和死的结构。