1. 最近我阅读了《怎样解题》这本书。这本书在我高中时就有所耳闻，而最近我才真正拿起来阅读，觉得仍然收益良多。所以做了个简单的笔记，详细如下：

2. 在大量的问题中， 我们总是问:未知数是什么?我们可以变换提法，以各种不同的方式提问同一个问题:求什么?你想找到什么?你假定求的是什么?这类问题的目的是把学生的注意力集中到未知数上。

3. 模仿与实践      当教师向学生提出表中的问题或建议时，他可能有两个目的:第一，帮助学生解决手头的问题;第二，培养学生将来能够独立解题的能力。 经验证明，适当使用我们表中的问题与建议，常能对学生有所裨益。此表      有两个特点:常识性与普遍性。由于此表来源于普通常识，所以显得很自然，      学生自己也会提出这类问题。由于此表具有普遍性，所以它们对学生的帮助并非强加于人;它们只不过指出了一般的方向，而留给学生去做的还很多。上述两个目的是密切相关的。如果学生在解决手边的问题中获得成功，他就提高了一些解题的能力。这时，我们不应该忘记我们所提问题具有普遍性而且可适用于许多情况。如果同一个问题反复地对学生有所帮助，那么他就会注      意到这个问题，于是在类似的情况下，他自己就会提出这个问题。通过反复地提出这个问题，他总会有一次成功地诱导出正确的念头。通过这样一次成功， 他便发现了利用这个问题的正确途径，于是，他真正地领会了它。      

4. 希望提高学生解题能力的教师，必须培养学生的兴趣，然后给他们提供大量的机会去模仿与实践。

5. 拟定计划

我们当然知道，如果我们对该论题知识贫乏，是不容易产生好念头的。如果我们完全没有知识，则根本不可能产生好念头。（耿欣注：所以多输入，才能有好的idea）一个好念头的基础是过去的 经验和已有的知识。仅仅靠记忆不足以产生好念头。但若不重新收集一些有关事实，则也不会出现好念头。只有材料还不足以盖房子，但是不收集必需的材 料也盖不了房子。解决数学问题所必需的材料是我们早已获得的数学知识的某些有关内容，如以前解决的问题，以前证明过的定理。因此，以下列问题开始 工作常常是合适的:你知道一个与此有关的问题吗?

1. 如果这些问题不行，我们必须寻找某些其他的适当接触点，并且探索问题的各个方面;我们不得不变化、变换、修改该问题。你能否重述这个问题?我们表中的某些问题提示了改变问题的专门方法，例如普遍化、特殊化、应用类比、舍去一部分条件等等;具体细节是重要的，但我们现在不能深入讨论。改变问题可能导致提出某种适当的辅助问题:如果你不能解决所提出的问题，则应首先尝试去解决某些与此有关的问题。

！例子！

我们回到第8节中的例子。

“你是否知道一个与此有关的问题?”

“看着未知数，你是否知道一个具有相同未知数的问题?”

“好，未知数是什么?”

“平行六面体的对角线。”

“你是否知道任何具有相同未知数的问题?”

“不，我们还没有任何关于平行六面体对角线的问题”

“你是否知道任何具有相似未知数的问题?”

“你看，对角线是个线段，就是直线的一段。你从来没有解决过一个未知数是直线长度的问题?”

“当然，我们曾经解决过这样的问题，例如找出直角三角形的一个边。”

 “好啊! 这里有一个知你的问题有关的问题，且早已解决，你能利用它吗？”

“你真走运，你想起了一个与你当前问题有关的问题，而且这个问题你以前已经解决了。你愿意利用它吗?为了能利用它，你能否引进某个辅助元素?”

图1

“看这里，你所想起的是一个关于三角形的问题。图中有三角形吗?”

我们希望这最后的提示已明白得足以诱发出解题的思路(即引入一个在图 1中用阴影画出的直角三角形)。这个引入的直角三角形的斜边就是我们所要求的对角线。但是教师应当对下述情况有所准备:即使这样明白的提示也不能使 学生开窍，那么他应当动用所有越来越明显的提示。

“你是否想在图1中有个三角形?”

“在图中，你想有哪种三角形?”

“你现在还不能求出这对角线;但你说过你能求出三角形的一个边。那么现在你该怎么办呢?” “如果对角线是三角形的一个边，你能找出它吗?”

经过或多或少的帮助后，学生终于成功地引进了决定性的辅助元素，即图中阴影三角形，在鼓励学生进入实际计算之前，教师应确信其学生对问题的理解已有足够的深度。

“我想，画出那个三角形是个好主意，你现在有了个三角形，但是你是否有未知数?”

“未知数是三角形的斜边，我们可用毕达哥拉斯定理去计算它”

“如果两边为已知，你会计算。但它们是已知的吗?”

“一个边已给定，是c。另一个边，我想也不难求出。是的，另一边是另一个直角三角形的斜边。”

“很好!现在我看出你有个计划了。”

1. 应当选择表示另一边，即面上的对角线，其两边为和。学生现在可能看得更清楚:解题的思路就是应该引进一个辅助未知数。最后，陆续对这两个直角三角形进行考虑之后，他得到 

                                          图 1

如果学生正确地进行上述细节运算，老师没有理由去打断他，除非必要时提醒他应当检查每一步。

1. 上述一些问题有几个好处。首先，公式通过这么多的检验，这一事实不能不使一个聪明的学生产生深刻的印象。学生以前就相信公式是正确的，因为公式是他仔细推导出来的。但是现在经过这么多检验，他就更深信无疑了，这种信心的增加来源于一种“实验的数据”。正是由于上述问题，公式的细节获得了新的意义，而且和不同的事实联系起来了。这样，公式就更容易记住，学生的知识得以巩固。最后，上述问题很容易转到类似的题目上。对于类似题目获得一些经验以后，一个聪明的学生就能觉察出所包含的普遍概念:即，利用所有有关数据，改变数据，对称，类比。如果他养成了把注意力集中在这些地方的习惯，他解题的能力肯定会提高。

2. “你是否知道任何与此有关的问题?”      

“你是否知道一个类比的问题?”

“这里有一个与你有关且已解决了的问题，你能利用它吗?”

“为了有可能利用它，你是否应当引入某个辅助元素?”

1. 好问题与坏问题

回到原来在第10节开始时的情况，那时提问下列问题:你知道一个与此有关的问题吗?我们从帮助学生的最好意愿出发，不问这个问题，而改为提问:你能应用毕达哥拉斯定理吗?

我们的动机可能是极好的，但是这种提问却大概是最坏的。我们必须认识 是在什么情况下提出这个问题的;然后我们会发现有一大堆反对意见反对这种 类型的“帮助”。

(1)如果学生已接近于问题的解决，他可能理解问题的建议;但是如果他不 是这样，他十分可能完全看不到问题的着眼点，因而在最需要帮助之处却得不 到帮助。

(2)这建议的针对性太强了，即使学生能利用它解决当前的问题，对于将 来的问题来说并没有学到什么。这种提问不是很有启发性的。

(3)即使学生理解这建议，他们也极少能理解教师怎么会想到提出这样一 个问题，而学生他自己又怎样能想出这样一个问题呢?它看起来很不自然，很令人诧异，就好象变戏法耍魔术一样。它实在没有什么启发性。

对第10、15节中所描述的过程就提不出上述任何反对意见了。

最后，我要说暂时就先记录这些了。我觉得人的奋斗就是不断的挑战问题的过程，发表论文和专利都是要解决问题和矛盾。而数学解题就是最容易也是最快捷的实现问题解决的途径。所以它们的指导思想是一样的，都可以在数学解题中得到升华。最后就是写出来，形成一篇论文。

同时，在设计计算图时，很多思路难以一下就设计出来，往往实际解题过程像是螺旋状前进的过程。在推测设计和实施中，不断前进。