介质与孔洞平板

Rod and Hole Slabs

图1中显示了两种类型的光子晶体平板，正如第5章所提到的，我们将从两类基础的光子晶体类型出发：处于空气中的正方晶格介质柱（图1.a）以及处于介质中的三角晶格空气孔洞（图1.b）。我们将这两种结构分别称为柱状平板（rod slab）和孔洞平板（hole slab）。在我们的柱状平板示例中，介质柱半径 r = 0.2a，而平板厚度为 2a。在孔洞平板示例中，孔洞半径为 0.3a，厚度为 0.6a。我们将在后面进一步讨论这些参数的优化问题。在这里，我们首先讨论完全被空气环绕的悬浮膜结构（suspended membrane），随后讨论衬底效应。

由于在两个方向上存在离散的平移对称性，面内波矢（in-plane）被保护，而垂直方向的波矢则没有被保护。在之前的讨论中，我们通常采用描点法绘制投影能带图（projected band structure），而在这一案例（指平板情况，注）中，则应当对二维晶格简约布里渊区的关系进行描点。柱状平板和孔洞平板的的投影能带图如图2所示。关于这类能带图的特点，读者在第7章就已熟悉。在空气中传播的额外模式则形成的光锥。在光锥之下，平板结构较高的介电常数拉低（pull down）了离散的导带。这些能带的本征态将沿着垂直方向（远离平板的方向）呈指数衰减。

在第7章对称与偏振部分，系统在z=0平面镜像对称是不变的，这允许我们将模式分类为TE-like（偶模）和TM-like（奇模）。（在这一案例中，由于一般没有y和x方向的镜面对称性，被波矢取代）。图二中TE-like模式用红线表示，TM-like模式用蓝线表示。介质平板支持TM-like带隙，孔洞形平板支持TE-like带隙，这一结果同我们之前二维光子晶体相应的知识相吻合。然而，相比较于过去章节中讨论的情况，光子晶体平板的带隙是不完全（incomplete）的，它们只对应于导模而不适用于光锥。