偏振和平板厚度

Polarization and Slab Thickness

为什么我们在选择平板参数的时候，介质平板的厚度接近孔洞平板的四倍？这就涉及到介质厚度优化的讨论，而这与偏振尤为相关。图3显示了介质和孔洞平板的带隙大小与平板厚度的关系，可以看出确实存在一个最优厚度。事实上，如果平板过厚，带隙将会完全消失。

在直觉上，我们可以通过假设极厚与极薄的情况来考量。如果平板太薄，能带对应模式就算能够被限制，限制效果也很弱（the bands are weakly guided, if they are guided at all）。光锥线下的模式将强烈地衰减在空气区域中。最低能带与光锥线之间的差值将小到不足以形成带隙，模式也将离域化（delocalized）以至于周期性将无足轻重。另一方面，对于过厚的平板，基导模（node-free）中的带隙将接近于具有无限厚度的二维系统。然而，高阶导模（with more vertical nodes）被拉低并混入带隙中。在第2章的variational theorem下，额外的垂直方向nodes将会变得可以忽略。

利用这些定性考虑，我们预计理想的厚度大约为半波长。这将足够厚到可以有效限制基模，同时又足够薄到防止高阶模与平板匹配。但我们所说的“波长”究竟指什么呢？空气中的波长还是介质中的波长？我们的答案是利用有效波长，材料的有效介电常数是一种模式依赖的平均量，取决与区域的空间平均值在某种意义上由场分布加权（spatial average of  the  profile weighted in some sense by the field profile）。准确的关于加权的描述属于有效介质理论的范畴（effective-medium theories），这里不做细节讨论，需要特别指出的是权重显著依赖于偏振。TE-like模式垂直方向的有效波长主要取决于较高介电常数的介质材料，而TM-like模式则取决于较低介电常数的介质材料。

这解释了为什么，在图3中，孔洞平板的带隙相较于介质平板在较小的厚度就可以打开，前者的带隙属于TE-like模式，后者属于TM-like模式。当这些带隙刚打开时，它们渐近于相应的二维光子晶体结构：28%-孔洞39%-介质。然而，随着厚度变化，这某一临界厚度（~1.2a-孔洞，~2.25a-介质），一个高阶模式被拉低到带隙内，从而使得带隙大小急剧下降。

你也许想知道为什么，在图2中，我们没有选择能够实现最大带隙的平板厚度。主要原因是，我们将在接下来的章节中看到，平板结构的尺寸限制因素并不完全由带隙的大小决定，所以并不需要在这一步挑选严格最优的尺寸。例如，我们的设计同时要考虑到光锥线，缺陷态中的高阶模，衬底等等。因此，在考量了过往实验的结果后，我们选择偏小的厚度不仅易于加工，也仍然满足了较大的带隙需求。此外，介质平板与孔洞平板的厚度差异，也让我们意识到后者在实验上更有优势。

*翻译自Photonic Ctystals: Molding the Flow of LIight一书，摘取部分章节翻译兼作笔记用，如有侵权，联系作者删帖。欢迎讨论交流