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复杂网络的严格可控性——强悍的特征值又回来了

已有 12760 次阅读 2013-9-27 14:16 |系统分类:论文交流| 网络, 可控性

      控制一个系统是非线性研究中的一个重要问题。如何控制一个系统呢?首要问题是需要多少外界信号的输入,也就是满足可控性条件的控制器个数问题。然而这是一个很难事先根据Kalman条件得到的问题,2011年Liu等在Nature上发表论文Controllability of complex networks,利用最大匹配理论解决了复杂网络的结构可控性问题。他们提出一个系统结构可控需要的独立控制器(Driver)为系统非匹配节点数(完美匹配时为系统任意一个节点),并且Driver数与网络度分布存在密切关联。

      最近我们在Nature Communications上发表论文Exact controllability of complex networks,给出了网络严格可控性的相关结论。我们从可控性的PBH条件(与Kalman条件等价)入手,得到网络严格可控性所需要的Driver数为系统特征值的最大几何重数;当系统矩阵可对角化(比如对称)时,退化为系统特征值的最大代数重数。进一步在分析稀疏和致密网络时发现,稀疏网络最大几何重数出现在零特征值上,从而对稀疏网络就可直接由系统矩阵的秩来决定Driver数;而对于同权致密网络,最大几何重数出现在负权值上,同样可直接对同权网络简单计算Driver数。仿真实验说明了对稀疏和致密网络简单计算的正确性,同时发现同权网络越致密越难控制(Driver数越大)。

 

 

      另外,我们还可以通过线性代数中初等变换的方法求的网络需要Driver的节点。该方法简单易行,复杂度约为O(N^2(logN)^2)。

     我们的最大重数定理和初等变换找Driver方法简单易算,适用范围更广,对于任何的系统矩阵都成立,无论有向、无向、加权、不加权。

ncomms3447.pdf



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