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前面说到:FKR理论“是针对在Tokamak位形下有理面上因为磁重联引发的‘撕裂模’”。但是Tokamak的有理磁面都是轮胎形状的曲面。这样几何位形下的问题,处理起来是有一定难度的。
事实上,我们在研究等离子体的“宏观”尺度(一般指装置的特征尺度)约束时,理想磁流体理论是很好的近似。如我们在《磁重联漫谈(1)》中所说:“在等离子体的理想磁流体(ideal magnetohydrodynamics, or ideal MHD)近似下,等离子体与磁力线是‘冻结’(frozen in) 在一起运动。形象地说,就如我们小时候喜欢吃的‘棒冰’的冰冻结在中间的棍上一样。更准确的比喻是串在中间的杆儿上的算盘珠:可以很容易的沿着杆儿运动或者‘回旋’运动,但是没法‘跨越’这一根杆儿到另一杆儿上去。当然,如果等离子体中有不均匀性,还是会产生横越磁力线的‘漂移’(drift),但是如果磁场限制在有限的体积内,这种‘漂移’运动仍然限于同一磁力线所螺旋缠绕成的磁面上:不过是‘抄近路’到同一磁力线的另一部分而已。就像调皮的孩子在螺旋滑梯上直线地从‘一层’跳到‘另一层’。”
但是在这一近似下,等离子体磁通(Magnetic Flux,相当于磁矢势的主分量)的本征函数解在有理面上产生“奇异性”——其一阶导数(相当于磁场)产生阶跃;二阶导数(电流)产生delta函数奇异性。正如我们在前面(《物理学中的奇点》)讲到的:
“数学物理方程的奇点表明,原来赖以得到这个方程(或者这组方程)的物理假设或者近似在这一点及其邻域不再成立,需要引进新的物理效应甚至新的物理模型。
。。。
“为了resolve这个‘奇点’,在物理上我们或者引进耗散效应(如粘滞或者电阻)、或者引进构成介质的微观粒子本身的‘分立’效应(如带电粒子的回旋半径这样的动理学(kinetic)效应)。
如果我们在有理面附近非常薄的一个薄层里(在理想磁流体极限下这个薄层的厚度为零!)引进耗散(电阻)效应,导致电阻撕裂模理论(即FKR理论和Rutherford理论);如果引进动理学(kinetic)效应,则给出无碰撞撕裂模理论。
正因为这个薄层非常薄,给我们处理问题反而带来极大的方便:第一,我们可以把轮胎形状的有理面沿着“赤道平面”切一刀,再沿任一环向角切一刀,展开成一个平面;第二,我们可以利用“边界层”理论来处理这一问题。
那么,有理磁面为什么会有这种奇异性?
这是因为,连续变化的无理磁面的集合中嵌入一个具有分立性质有理磁面,相当于在连续变化的磁场结构中引入了拓扑不连续性。在理想磁流体图像中,磁场和等离子体是“冻结”在一起的,这种拓扑不连续性便转化成物理的不连续性(和更高阶导数的奇异性)。
这种理想磁流体图像中拓扑不连续性与物理不连续性的“不变性”,应该可以用一个数学定理或者物理量守恒定律描述。
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GMT+8, 2024-5-8 11:57
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