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2010.11 应用数学Winter School

已有 6138 次阅读 2010-12-11 11:17 |个人分类:未分类|系统分类:博客资讯| 应用数学, 香港城大


第一篇博文,希望可以认识到更多的朋友。
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刚刚结束在香港城市大学举办的应用数学Winter School的学习。这次来的教授都挺牛的,感觉有点收获哈,虽然很多都听不懂。

网址:http://www6.cityu.edu.hk/ma/ws2010/speak.html

Ps:介绍下香港城市大学数学系(http://www6.cityu.edu.hk/ma/people/people.asp)
这也是个人才济济的地方,有得过Fields和Wolf的S.Smale,有法国科学院院士Philippe G.Ciarlet,系主任周定轩年轻有为是个牛人,杨彤教授也是双曲守恒率方面做的比较好的学者。   

1.M.J.Ward的题目是PDE的奇异扰动法,听的有些稀里糊涂。这个身材高大的老外很敬业,写了n黑板,口音也非常好听。以前上过他的网页,觉得他的一些讲义不错,比如DDE,Hopf Bifurcation等。主要讲的是椭圆形方程以及特征值问题,只是这个方程的定解区域有奇异性(有很多“洞”),用的方法是经典的匹配渐进展开法,我对这个方法也不是很熟,只是看过一些在边界层中的应用。听了那么多的例子,有了点肤浅的认识,觉得对于每种问题都得找到一个符合该问题特性的逼近方法,并没有一个一般的框架,但是思路是很清晰的。另外讲了一些比较有趣的应用,比如生态学中duffusive logistic model,mean first passage time等。

2.毛学荣老师是国际著名的随机分析专家,讲的是随机微分方程(SDE)的稳定性理论。现在我学的方向是动力系统(ODE),但是越来越多的人在研究动力系统的时候都会将噪声考虑进去,这就意味着运用SDE。想想以后说不定还会用到呢,于是上课前做了不少准备,看了一本L.Evans教授写的SDE讲义,这本讲义写的真不错,为我这种想迅速进入SDE核心理论的入门者做了大量煞费苦心的安排,听说他写的PDE也非常不错。(下载地址http://math.berkeley.edu/~evans/SDE.course.pdf)另外看了胡适耕老师的SDE专著,碰巧的是他两正好是合作者。

毛老师是个优秀的演讲者,充满激情,会经常用笑话来阐述理论,证明过程深入浅出,让我印象很深刻。他讲的有关稳定性的理论都是自己旅英20多年来的研究成果。主要是将ODE描述的动力系统中经典的Lyapunov方法推广到了SDE,让我知道了"Estabilished in more that 100 years ago, why Lyapunov method is still so powerful  today? "。首先推广稳定性概念,这次涉及到SDE中的Stability in probability, Almost sure exponential stability 和Moment exponential stability。经典导数概念当然被Ito微分代替(非扰动项);思路还是一致,很清晰,找一些函数(Lyapunov函数)进行比较。这些定理的证明思想绝对清晰,只是颇具技巧性,比如构造一些停时论证(stopping time),以及利用各种精细的不等式做的估计(BDG,指数鞅等)。我这种菜鸟也是听的晕乎乎的。另外还讲了一些比较有趣的应用,比如随机稳定化和去稳定化。第一次知道了噪声也可以让不稳定的系统变成稳定的系统,还了解了点随机控制的知识。最后讨论了些数值模拟SDE的问题,关于这个领域,SIAM Review上的一篇介绍性文章很不错(http://www.jstor.org/pss/3649798)。由于时间的关系,他没有介绍应用上更为重要的随机时滞微分方程了。我想我现在学的时滞微分方程已经很难了,再加个随机项应该要复杂N倍了,以后有时间再看吧。。

3.Thomas Hou(侯一钊)也是杰出的华人数学家代表,加州理工的大教授。以前在研一学CFD的时候就知道了侯一钊,舒其旺,鄂维南这些牛人。这次上课开始,老侯就给大家上了一堂“理论课”,让大家对自己要有信心,step by step,never estimate yourself,等等。他说自己刚到美国读书,第一次去图书馆看到别人的博士论文那么厚感到特别惊讶,别人怎么能写出那么厚的论文呢,后来在导师的引导下,他也逐渐发现了自己的潜力并且做出了一些很好的结果。关于科研的学习上,他也提了三点,choose a good problem,persistence,good insight。整个讲座的过程中讲的最多的就是insight这个单词。

侯的研究方向不知道什么时候开始从计算转向理论了。以前只知道他是搞数值计算的,用多尺度方法模拟流体的运动。这次才知道他近年兴趣转向了Navier-Stokes方程的理论研究了。这个是个世界难题,也是Clay千禧年问题(www.claymath.org/millennium/Navier-Stokes_Equations),老侯志向应该在于有所突破。NS方程描述的是流体运动,和做纯粹理论PDE的学者不同,做NS方程的时候可以通过各种高精度和分辨率的仿真技术来进行"可视化"(就和物理学家做实验一样),不断的实验过程中提出猜想,然后从纯数学的角度试图去证明它。这就是老侯说的他的研究方法,毕竟流体的模拟是他的老本行。

于是课程的前大半部分就是对不可压缩无黏流的介绍,主要就是Euler方程的介绍,局部解的适定性,BKM blow-up准则以及一些改进结果,整体解的一些近期结果等。这些听起来很熟悉,就像研一的时候听朱老师的PDE课一样。第二部分就是真正的实验和理论相结合的部分,应该很精彩,因为我听不懂。主要讲他最近几年的研究成果,他研究的思路以及碰到的困难等。能听懂的也是专家了。。

4.Peter Greiner这个老爷爷,字写的很好看,但是讲课就有点昏昏欲睡了。本来就是很抽象的东西,拟微分算子,汗。。没接触过。印象很深的是第一节课讲那些核函数的时候,一个等比级数求前N项和他居然还在黑板上推导了一遍,有点 不好评价。这门课没怎么听,很好看的那本手写讲义收藏了,有机会再看。

https://blog.sciencenet.cn/blog-516296-392384.html


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1 宋稳成

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