博文

Zmn-0820 薛问天：要认清无穷序列概念的确切含义，评李鸿仪先生的《0816》

已有 1132 次阅读 2022-1-15 08:51 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0820 薛问天：要认清无穷序列概念的确切含义，评李鸿仪先生的《0816》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对李鸿仪先生的《0816》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

要认清无穷序列概念的确切含义，

评李鸿仪先生的《0816》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-s.jpg 数学讨论，要对涉及的每个数学概念，都要要有严格的定义，明确它的确切含义。这对于数学专业的人员来说，那是习以为常的事。但是对于非数学专业的人员来说，就经常不注意这点，往往以自已主观的想像来替代有些概念严格的数学定义，从而在讨论中常常出错。我们来分析李鸿仪先生的文章。他的问题常出在这里，就是对讨论中的某些概念，不追究它的严格定义，不依照它的确切含义来作为依据，而是简单地凭他的主观想像来讨论。因而就常常出错。

我们来分析李鸿仪先生的《0816》，看问题出在哪里。

一，什么是式(1)？

李鸿仪先生提出如下定理。【定理1(实数不完全定理) 式（1）不可能包含区间[0，1 ）内的所有实数。】

在这里【区间[0，1 ）内的所有实数。】这个概念有严格的定义，大家都知道它的确切含义，但什么是式(1)呢？李先生却没有确切的说。哪怎么能形成数学定理呢？

李先生在文中是这么说的。【对区间[0，1）内的任意实数，只要其存在，都可以表示为无限小数的形式，例如0.1可以表示为0.1000……，而这些小数，只要不止一个，都可以表示成无限小数的形式：

0.1000…

0.2746.. （1）

0.9736...

------】

按照李先生这个说法，我完全可以把式(1)定义为一个无穷集合。它是包括所有无穷小数表示的实数的集合。如果这样理解和定义式(1)，定理1就是错的。因为式（1）这个无穷集合包含了区间[0，1 ）内的所有无穷小数的表示的实数。

当然我也可以把式(1)理解和定义为，式(1)是人用手写在纸上的内容。如果这样定义，当然定理1是正确的。但是要注意这时不仅所有的实数不可能包含在(1)中。甚至在(1)中连一个实数的表示都没有。因为实数是无穷小数，有无穷个位，人用手写，一个实数都写不完。

那么式(1)到底是什么呢？李鸿仪先生，你能确切回答在你的定理1中，式(1)是什么吗？

二，式(1)是「无穷序列」。

从李先生的定理1证明的简述中，他用到了关于康托定理证明中的结果，有实数b不在(1)式中。也就是说李先生用的(1)式是康托尔证明中的(1)式。那就清楚了，康托尔证明中的(1)式有严格的定义，(1)式是「无穷序列」。

在对角线证法中，实数b的构造b=0.b1b2b3...其中每位bi都同(1)式中的ai的第i位aii不相等。才使得b不等于(1)中的任何ai。可见(1)是由a1,a2,a3...构成的「无穷序列」。只有认为式(1)是无穷序列，才能证明不是所有实数都在其中。

也就是说如果李先生的(1)式是「无穷序列」。这样说则来李先生的定理1是正确的。因为康托尔的对角线法严格地证明了〖任何「无穷序列」式（1），不可能包含区间[0，1 ）内的所有实数。〗

三，「无穷序列」有严格的数学定义。

什么是「无穷序列」，我们说a1,a2,a3,...,an,...。是无穷序列，那就是它必须同自然数能建立一一对应。无穷序列的每个项an，都有一个自然数n与其对应。反之，每个自然数n，都有无穷序列中的一个项an。

四，既然式(1)是「无穷序列」必须能同自然数一一对应，则集合可数，就等同于集合是可以构成「无穷序列」式 (1)，集合的所有元素包含于式(1)之内。

也就是说，[0，1）内所有实数可数(假定1)，就等同于存在无穷序列式(1)，使[0，1）内所有实数包含于式（1）之内(假定2)。

这很容易证明，我们用R表示[0，1）内所有实数。当假定1 成立时，R可数，即R同自然数一一对应，R的元素就可按这个对应形成无穷序列，即式(1)。R中任何元素都存在自然数n，使此元素an在式(1)中。即假定2成立。反之，如果假定2成立，存在无穷序列式(1)，使R中所有元素都在(1)中，因为(1)是无穷序列，同自然数一一对应，则R也就同自然数一一对应，从而证明R可数，假定1成立。

当我们把式(1)的确切含义搞清楚后，就证明李鸿仪先生所说的【假定1和假定2是两个独立的假定。】是完全错误的。

李先生说【即只要存在多个或无限个实数，假定2就必然不成立，与假定1是否成立无关，】并不对。并不是【只要存在多个或无限个实数，】就存在「无穷序列」式(1)，使所有实数学包含在式(1)之中。由于式(1)是同自然数一一对应的无穷序列，只有假定1成立才能假定2成立，假定2不成立就说明假定1不成立。

他所说的【由于只要存在多个或无限个实数，（1）就成立，而只要（1）成立，定理1就成立，即只要存在多个或无限个实数，假定2就必然不成立，与假定1是否成立无关，这就严格地证明了，假定1和假定2是两个独立的假定。】其中的错误就是没有认清式(1)是必须同自然数一一对应的「无穷序列」。从而没有认清假定1同假定2是等价的。

后面就不用讲了，把康托尔定理的假定1可推出假定2，说成是两个假定，假定1并且假定2，后面得出的结论当然都是错的。因而，在此错误的论断下所作的推论，如

【推论1，对角线法和区间套法并没有证明实数不可数】肯定是错误的。

另外定理1实际上说的是，〖不存在「无穷序列」式(1)，使R中的实数都含在其中。〗并不是说【不存在无穷集合(1)，使R中的实数都含在其中。】所以说李鸿仪先生后面的推论也都是错误的。如:

【推论2 不存在一个已经完成了的实数轴。】

【推论3若在实数轴中增加实数，则该过程永远无法结束和完成。】

【推论4 对任意一个实数成立的性质并不意味着一定对所有实数成立。】

当然不用多讲，这些都是错误的推论。

结论。

式(1)是什么？，式(1)是「无穷序列」。「无穷序列」有严格的数学定义。我们说a1,a2,a3,...,an,...。是无穷序列，那就是说它必须能同自然数建立一一对应。既然式(1)是「无穷序列」必须能同自然数一一对应，则集合可数，就等同于集合是可以构成无穷序列，集合的所有元素包含于式(1)之内。

也就是说，[0，1）内所有实数可数(假定1)，就等同于存在无穷序列式(1)，使[0，1）内所有实数包含于式（1）之内(假定2)。这就说明李鸿仪先生的论断【假定1和假定2是两个独立的假定。】是完全错误的。当然由此论断所作出的推论也是错误的。

另外，定理1实际上说的是，〖不存在「无穷序列」式(1)，使R中的实数都含在其中。〗并不是说【不存在无穷集合(1)，使R中的实数都含在其中。】所以说李鸿仪先生后面的推论也都是错误的。

参考文献