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Zmn-0823 薛问天：吴文杰先生的【相对无穷论】让自然数中包含无穷自然数是严重错误。评《0800》

已有 1282 次阅读 2022-1-20 13:19 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0823 薛问天：吴文杰先生的【相对无穷论】让自然数中包含无穷自然数是严重错误。评《0800》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对吴文杰先生的《0800》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

吴文杰先生的【相对无穷论】让自然数中

包含无穷自然数是严重错误。评《0800》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

1，首先要明确，相对与绝对是反映事物性质的两个不同方面的哲学范畴。

相对，是指有条件的、有时间限制的、相互关联的；绝对，是指无条件的、永恒的、独立确定的。相对和绝对，都是同一事物既相互联系又相互区别的两重属性。

马克思主义哲学认为，世界上一切事物既包含有相对的方面,又包含有绝对的方面,任何事物都既是绝对的，又是相对的。宇宙中的各个具体事物和每个具体过程都是有条件的、相对的，而整个宇宙的存在和发展又是无条件的、绝对的。绝对和相对的关系，是辩证的统一。绝对和相对既互相区别又互相联结。没有绝对，就没有相对,没有相对,也就无所谓绝对。绝对存在于相对之中，并通过无数相对体现出来；在相对中有绝对，离开绝对的相对也是没有的。

例如，关于运动。整个世界的运动是绝对的、无条件的、永恒的，而每一具体运动形式又是有条件的、暂存的、相对的。无条件的、绝对的运动存在于有条件的、相对的、各个特殊的运动形式之中。每一运动形式和每一发展过程，都是绝对运动着的宇宙的不同方面、部分和阶段。运动是绝对的、静止是相对的，绝对的运动通过它的反面──相对静止表现出来，相对静止是绝对运动的一种表现形态。绝对的运动在一定条件下表现为相对的静止，相对静止又是事物运动的一种状态，并且在一定条件下又转化为显著的变动。

再例如，关于事物的矛值。绝对和相对是事物矛盾不可割裂的两重属性。矛盾的斗争性是绝对的，无条件的；矛盾的同一性是有条件的，相对的。绝对的斗争性寓于相对的同一性之中，相对的同一性中包含着绝对的斗争性。世界上没有离开相对的绝对，也没有不包含绝对的相对。

又例如，关于真理的认识。人们对客观事物的认识，也是绝对和相对的统一。世界上没有不可认识的事物，但不是一下子就能穷尽事物的本质。人的认识能力是无限的、绝对的，同时又是有限的、相对的。就人的认识的本性、使命和可能来说，是无条件的、无限的、绝对的，按它的个别实现和每次的现实来说，又是有条件的、有限的、相对的。人们对真理的把握，也是相对和绝对的统一。真理是绝对的，又是相对的。绝对真理存在于相对真理之中，相对真理中包含着绝对真理的颗粒，无数相对真理的总和构成绝对真理。相对真理不断向绝对真理转化的过程，就是人类认识的发展史。

形而上学否认绝对和相对的辩证统一，把绝对和相对割裂开来，或者认为绝对就是绝对,是脱离相对的,从而走向绝对主义；或者认为相对就是相对，是排斥绝对的，从而走向相对主义。绝对主义在认识上夸大事物的绝对性方面，并用以否认相对；相对主义则夸大事物的相对性方面，并用以否认绝对。两者都是片面地各执一端，不及其余，是对客观事物的歪曲反映，阉割了事物和认识中绝对和相对的辩证法。（注：以上论述皆转抄自网上，仅作个别字面修改。作者同意这些观点。）

2，有关无穷的相对特性和绝对特性。

从哲学范畴来讲，无穷也有相对特性和绝对特性。无穷自然是相对有穷而言的。无穷集合的相对性当然表现在它是有条件的，这个条件非常明确，那就是无穷集合是非有穷集合的集合。这就是无穷集合的数学定义。我们知道所有的自然数n，都可以表示为一个有穷集合，n={0,1,2,...,n-1)。所以我们说自然数是有穷数，但是【所有的】自然数却构成无穷集。说明无穷集是有条件的。无穷集合是相对的、有条件的。但是当条件满足时，它绝对是无穷集，这又体现了无穷集合的绝对性。

全体自然数集合包含了全体自然数，每个自然数都是由数0经有穷次的后继演算+1而生成的。整个的自然数集合这个无穷集的生成过程中，由有穷集不断扩大，元素不断增加，充分体现了它同有穷集的相对关系，体现了它的相对性。但是当构造完成后，所有自然数都包含在集合中，此无穷集已是元素不变的确定的集合，这又体现了它的绝对性。

但是吴文杰先生并不这样认为，他只强调相对对。他说【相对⽆穷思想是⼀个全新的⽆穷思想，如果还是坚持现有对⽆穷（绝对⽆穷）的观点，必然是处处不合理。所以，请务必从“⽆穷”和“有穷”是相对属性作为起点来思考和推导。相对⽆穷与绝对⽆穷的根本区别在于：“⽆穷”是在⽆穷⽆尽的⾃然数之中，还是永远也⽆法抵达的终点。】

吴文杰先生所主张的【“⽆穷”是在⽆穷⽆尽的⾃然数之中，】显然不准确，自然数之中的任何一个自然数都是有穷数，任何自然数n={0,1,2,...,n-1)，都代表的是一个有穷集合，但是所有的有穷自然数，却有无穷无尽个，【所有自然数】形成一个无穷集合。

吳先生所反对的【永远也⽆法抵达的终点】也不对。尽管自然数有无穷无尽，并没有最后一个最大的自然数作为【终点】。但是所有的自然数所形成的这个无穷集合，却是一个元素不再变化和增加的确定的集合。是个确定的数学对象，这个构成无穷集合的目标是可以抵达的。体现了无穷集合的绝对特性。因而只承认无穷集合的元素无穷无尽的相对性，而不承认无穷集合是构造最终可以完成的，是确定的集合的绝对性，这种观点并不符合唯物辩证法。

3，三次数学危机同无穷的相对性和绝对性无关。

吴文杰先生在文中涉及三次数学危机。是的，这三次数学都同无穷有关，但同无穷的相对性和绝对性无关。第一次数学危机是由于人们还未认识到【约分】概念的实质，不了解除有限【约分】外，还有不可有限【约分】的数，即无理数的存在。当认识到无理数的存在后，这个危机就消除了，第二次危机是没有认识到导数的定义需要用到【极限】这个概念，用的是无穷小作为常数，从而导致了无穷小等于0和不等于0的矛盾和贝克莱悖论。当引进【极限】理论后，这个危机也消除了。第三次危机在于对【集合】的这个概念无确切定义。从而引起了罗素悖论。当公理集合论引入了严格的ZF公理后。第三次数学危机也解除了。吳文杰先生说【ZF公理系统也并没有真正解决罗素悖论，】的说法是不符合事实的。

4，【无穷大极限】同无穷集合的【超穷基数】是两个不同的概念。

我们知道在数学分析中有【无穷大极限】概念，极限分两种定义，一种是有限极限，一种是无穷大极限。关于这点，吴文杰先生也一清二楚，他说【∞其实表⽰的是⽆穷⼤的极限】，这当然是正确的。但是他接着说【在集合论中才能将∞定义为⾃然数集的基数】。显然是明显的错误，在集合论从来没有将无穷大极限∞定义为自然数集这个无穷集合的基数。无穷大极限和无穷集合的超穷基数，这是完全不同的数学概念。关文杰先生把它们混为一谈是完全错误的。

另外非标准分析并没有否定标准分析，是在标准分析的实数集合的基础上引入超实数集合，把实数的无穷序列，在一定的约定下作为超实数的一元，从而在超实教中引入了无穷小和无穷大数。在本质上同标准分析的极限理论并无原则区别，在理论上是完全等价的。可吴文杰先生却说【⾮标准分析中引⼊⽆穷⼤的⽅式⼜进⼀步强化了“⽆穷⼤不属于⾃然数”的认知】。

吴文杰先生说【现今数学中，⼀直都是将”⽆穷”当成⾃然数之外的概念来对待。可是，既然⾃然数本⾝就是⽆穷的，那么“⽆穷”在⾃然数之内该如何定义？“⽆穷”属于⾃然数的数学⼜是什么样⼦？】

要知道虽然在自然数和实数中不包括无穷大∞这个数，但是所有自然数构成的集合，以及所有实数构成的集合，却是绝对存在的确定的无穷集合。体现了无穷集合终极存在的绝对性。无穷大元素不在无穷集合之内，并不影响它是无穷集合，对无穷集合的存在毫无影响。

我们已说过多次，自然数本身是有穷的，但所有自然数的集合是确定的无穷集合。"无穷"並不作为数属于自然数。但是自然数可以扩展为序数和基数，自然数作为有穷序数可以同给定的超穷序数形成序数的集合，例如在序数中，序数𝟂+1={0,1,2,..., 𝟂)。此无穷集合中就包括自然数和超穷序数𝟂。同理，自然数作为有穷基数同给定的超穷基数形成基数的集合。在这些数学的无穷集合中就包括自然数和某些超穷基数。

5，吴文杰先生在比较【无穷大极限】和【无穷集合】中的错误论断。

吴先生说【标准分析中的“极限”，其实是⼀个有限⽆法抵达的、唯⼀不变的状态。⽽集合论中的“⽆穷集合”，则是⼀种有限⽆法组成的、唯⼀不变的结果。】

这个观点并不对，分析中的【无穷大极限】只是无穷序列或函数的一种不断增大的属性，并不认为有一个【⽆法抵达的、唯⼀不变的状态。】即所谓的【无穷大状态】的存在。而【无穷集合】则是认为可以由无穷个有限元素组成的【唯一不变的】确定的集合。

不过所说的两者的不同，基本上是对的，即他说【两者不同的是：极限的定义是潜在的，不存在⼀个具体对象；⽆穷集合的定义是实在的，并将其作为对象进⾏研究。】

即【无穷大极限】和【无穷集合】是两个不同的概念。但是吴文杰先生却认为它们有共同之外。他说
【但其实，两者对待⽆穷的⽅式是相同的，都是追求⼀个不变的“绝对⽆穷”，】这是不对的，【无穷大极限】并不认为存在这个“绝对⽆穷”状志，并未追求【一个不变的"绝对无穷"】。

6，关键是吴文杰在他的【相对无穷论】的错误思想指引之下，提出了严重错误主张。让自然数中包含无穷自然数，发生了严重错误。

他说【与“绝对⽆穷”的出发点不同，如果我们将⽆穷⼤定义在⾃然数之内，那么⽆穷⼤将不再是⼀个唯⼀不变的对象。⾃然数序列没有终点，也没有最⼤的⽆穷⼤。因此，⽆穷⼤在⾃然数之中只是⼀个很⼤很⼤的数，但它依然满⾜⾃然数的所有特性。此时，其实我们是将“⽆穷”和“有穷”作为两个相对概念来定义“⽆穷⼤”。因此，可以将这种对待“⽆穷”的思想称为“相对⽆穷”。】

而且具体地把他的主张表示为

【基于相对⽆穷思想中将⽆穷和有穷定义为相对属性，⽆穷是有穷的延伸，所以⾃然数序列的定义为

1,2,3,...,...,∞,∞+1,...。

其中的 ∞表⽰⼀个⽆穷⼤⾃然数，⽽不是以往⾃然数序列⽆限增⻓也⽆法抵达的⽆穷。因此，仍然有其后继数。在此定义下，⾃然数序列永远不能完成，没有终点，没有最终状态。其中，∞前⾯的是有穷⾃然数，并且没有最⼤的有穷⾃然数；∞是⽆穷⾃然数，并且即没有最⼤的⽆穷⾃然数也没有最⼩的⽆穷⾃然数。】

吳文杰先生把无穷大∞作为自然数放在自然数集合中是非常严重的错误。要知道自然数集合有严格的定义或公理。如皮亚诺公理，是自然数必须满足的公理。我们可以严粛地指出，吴文杰的【自然数】严重地违犯了皮亚诺公理。公理第5条规定: 任何自然数都是以0开始进行有穷次的后继运算而得到。在吳文杰的自然数中，既然∞是自然数，那么∞就是以0开始进行有穷次的后继运算而得到的，可见∞成为有穷自然数，这同吳文杰先生设计的∞是无穷自然数相矛盾。

另外，吴文杰的【自然数】的根本问题是既然【∞前⾯的是有穷⾃然数，并且没有最⼤的有穷⾃然数】，因而他说不清，无穷自然数∞是从哪里开始的。我们可以用数学归纳法（同公理5等价）严格证明下述定理，

【定理】。任何自然数都是有穷自然数，不是无穷自然数。

证明，(1) 自然数0是有穷自然数，不是无穷自然数。(2)如果自然数n是有穷自然数，不是无穷自然数。则自然数n+1是有穷自然数，不是无穷自然数。由(1)和(2)根据数学归纳法即可证任何自然数都是有穷自然数，不是无穷自然数。证毕。

显然在此错误的自然数基础上的所有推论，也都是错误的的。如他所说【再从⾃然数出发，可以把数系扩展⾄整数、实数。其中整数只是对加减乘运算封闭，⽽实数则是对加减乘除、幂、开⽅等各类运算封闭。任意有穷数间的有穷次运算结果还是有穷数，有穷数只有经过⽆穷次运算或者和⽆穷数间的运算的结果才有可能是⽆穷数，⽽⽆穷数间的运算结果却有可以是有穷数。】

这里还包括毫无定义的【经过⽆穷次运算】以及【和⽆穷数间的运算】，则更是错上加错，要知道运算只能进行有穷次，在没有重新定义下，这些都是毫无意义的。

7，至于吴先生所说【通过以上扩充，实数中的⽆穷数即有⽆穷⼤数，也有⽆穷⼩数。其中正⽆穷⼤数⼤于任意有穷数，正⽆穷⼩数则⼩于任意正有穷数。基于⽆穷⼩数和⽆穷⼤数的定义，不仅可以完美地解决第⼆次数学危机和⽆穷集合论中存在的争议，还可以更好地、合理地解释各类⽆穷相关问题，从⽽真正做到所有数学分⽀中统⼀的⽆穷定义。这⼀部分的完整内容可以查看《相对⽆穷论》中的解释和定义，这⾥不作赘述。】

纯属吳文杰先生的主观幻想，所谓【这里不作赘述】，完全是不可能做出正确的陈述，因为这里矛盾重重，漏洞百出。自然数都不对，在自然数基础上的其它数就可想而知。

由于吳文杰先生提出【相对无穷论】，追求【“⽆穷”是在⽆穷⽆尽的⾃然数之中，】在其指引下所提出的基本主张，让自然数中包含无穷自然数∞，是严重错误的。所以在此错误主张上建立的自然数和实数也都是错误的。当然，不用说，吳文杰对他的【相对无穷论】的评价，【相对⽆穷思想，从最基本的“⽆穷”概念出发，以相对性对其进⾏定义，不仅从根本上解决了三次危机，还完善了实数理论，将原有的实数定义从原来的有穷数域扩充为真正连续的实数域。】这一切都是吴文杰先生的主观幻想，在错误的自然数定义上，当然构建不出实际正确的自然数和实数理论来，差距很大，相距甚远，毫无意义。吳文杰先生对此应有正确的认识。

8，另外在文中还有很多错误的观点，

如他说【该思想对待⽆穷的⽅式更接近于⾮标准分析中的定义】。实际上，他的【相对无穷】观，同非标准分析相差甚远。

再如他说【相对⽆穷思想并不是单纯的实⽆穷或者潜⽆穷。在传统的绝对⽆穷思想中，因为追求最终不变的绝对⽆穷，所以存在实⽆穷和潜⽆穷的争论，⽆法将其进⾏统⼀。⽽在相对⽆穷思想中，实在性和潜在性都是⽆穷的⼀⽅⾯，它们不仅分别体现于⽆穷序列实在的过程和潜在的结果，还体现于实在的连续⽆穷和潜在的离散⽆穷。】

我们知道整个集合论都是以现代实无穷观为基础的。潜无穷观不接收集合论的基本概念。我们不可能寻求两种无穷观的【统一】，而是要抛棄落后的潜无穷观，树立现代实无穷观，克服落后思想的束缚和干扰，接受现代数学的文明和飞速的进展。

再如他说【传统对实数的定义所构成的数域只是⼀个⽐有理数域更加稠密但是并不连续的有穷数域，】这是一个极端错误的说法。说明吳文杰先生对实数并不真正了解。实数的连续性是实数不同于有理数的最重要的特征。而稠密性有严格的定义，并没有【更加调密】的概念。

再如他说【在新的实数理论下，⽆穷数是有穷数的延伸，⽆穷对象的性质可以通过归纳法基于有穷对象进⾏推导，⽆穷也不再是⼀个有穷思维习惯⽆法理解的存在。】

这种认识是绝对错误的，有穷对象和无穷对象是两个不同的对象，对它们的不同要有充分的认识。并不是所有有穷对象的性质，都可推广到无穷对象，有些【有穷思维习惯】的人总拿有穷对象的性质，以为无穷对象也具有，常犯这样的错误，对这些人应使其改变这种错误的习惯和认识，而不能违背事实，错误地认为可以推导出无穷对象具有有穷对象的性质。

另外文中还有不少错误，如认为【0.999...＜1 ，不需要不可测集的定义，也没有分球悖论，黎曼重排定理也有更好的解释】等。由于吴文杰先生没有具体展开，所以就不在此具体评论。

参考文献