思想海洋的远航分享 http://blog.sciencenet.cn/u/xying 系统科学与数学水手札记

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IP: 111.161.96.*   [66]tjlrx   2013-8-13 13:45
谢谢您的解答,每一次都能学到一定的知识,假使我基础更好一点,一定会得到更多的教益.
IP: 111.161.0.*   [65]tjlrx   2013-8-12 16:06
应老师您好,请问您一个问题:随着希尔伯特\克莱因等等大师的著作相继完成和他们的谢世,有关"数学基础"的研究是不是已经告一段落了?现在"数学的基础"还是不是研究的热门?
我不是什么研究人员,只是对这个问题有点兴趣,期待您的解答.
我的回复(2013-8-12 23:38):"数学基础"的研究从百年前的危机到30年代的高潮,现在还在不断的探索中,就像革命过后都会有长时间安定团结消化革命的成果。也许你注意到,数学基础的研究建在数理逻辑上,并促使它发展,而数理逻辑已经成为计算机科学的基础,计算机语言,能力,复杂性等等的研究都建立在这坚实的基础上。作为计算机的使用者也许不注意到这下面的基础,就像人们用算术计算一样习以为常。但是对于研究者不是如此的简单。下一次的数学革命会发生在计算机上,这是我要引起有志者注意的地方。
IP: 218.56.108.*   [64]张法顺   2013-8-11 11:52
您好,应老师,看您在李晓榕老师《与师生谈科学之弊10:割根裂本》留言。对此文我有点疑问。若在研究的过程中给模糊太大空间而不去追求精确,这样能做出实实在在的发现吗?人们若要认识事物,不可避免地要先确定一部分东西,把它当做不可分割的单位,所谓还原论之弊,很可能仅仅是人们在分析中没有合适地选择好不可分割的单位。要解决“还原论”的问题,可能还得用还原论的思维,只是在更加深入的思考之后。反过来想就像刚提到的,用非“还原论”如何实质性推动问题的解决?
我的回复(2013-8-11 13:57):并非所有的规律都能用还原论的方法来约减的,例如人脑的思想就不能追踪到哪些神经,所有系统的性质都不能用单元的研究来推出。
在研究中因为模糊不能精确地抽象,确实不能够用来演绎推理,这只是科学方法的局限,并不是客观规律不存在。也不是除了依赖还原论之外,别无其他可以发现客观规律的学问。
IP: 111.17.100.*   [63]张法顺   2013-7-25 17:27
应老师,工作记忆能力不强是否很难适合做数学?
我的回复(2013-7-26 00:25):数学最重要的是逻辑能力和理解,与其他学科不同的是数学几乎是“串行的”,你必须很好理解和掌握后,一层层地往上叠,如果基础夹生了,后面学的多是记忆,而不是理解,没有把基础补好就很难学好了。相对而言,有些学科是比较“平”的结构,更强调记忆。
IP: 111.161.0.*   [62]tjlrx01   2013-7-4 19:28
我再次被封了,不知道怎么回事(tjlaoji=tjlrx=tjlrx01)
IP: 222.131.132.*   [61]bfw0518   2013-6-25 11:03
请应侠看看这个,有办法不?
http://bbs.sciencenet.cn/thread-1192913-1-1.html
我的回复(2013-6-25 12:17):这个比较像玩笑帖。如果对此认真,其实验证也不难,拿个计算器和纸将那个公式解算到6位小数,比如说它的实数部分很容易算出是0.906996,你再算一下虚数部分。将它们代人方程就知道是不是它的解,将它们代入上图的公式就知道是不是出那里出来的。

其实你不用再算,我们已知这方程的5个解精确到6位小数如下,对比一下已经算出的实数部分0.906996,就知道不可能是这方程的解。
y 0 = 1.582036  
y 1 =−1.371882  
y 2 =−0.402102  
y 3 =0.095974−i1.510795
y 4 =0.095974+i1.510795
IP: 111.160.191.*   [60]tjlaoji   2013-5-28 10:45
您好,再次感谢您能踌躇宝贵时间回复我的评论。
我真想号召在中学阶段能普及“普通逻辑学”的内容,不要太多符号,不要太细致,只要能分析常见的问题就可以了。我觉得,对于日常生活和我们当下的现实,普通逻辑学最有意义。
前不久一位科学网的先生说“烧纸不是迷信,是民俗”。但是,难道“民俗”里就没有迷信吗?其实,用逻辑学观点很好理解,二者关系是相容的,如果用文氏图来表示,就是两个互相套着的圈,而烧纸就在其中的公共部分。至于有人赞成(或者至少不反对),无非是以非逻辑的“逻辑”——烧纸能寄托哀思,或者“你不烧纸就是忘了祖宗”——来立论,我感觉对于这样的人完全是“秀才遇到兵,有理讲不清。”类似还有很多。
IP: 159.226.141.*   [59]杜瑾   2013-5-25 16:30
您好,不好意思打扰您了,我是中科院文献情报中心的一名研究生,希望您能帮忙填一份有关科学网博客的问卷,先谢谢您了,问卷链接:http://www.sojump.com/jq/2463683.aspx
我的回复(2013-5-26 00:08):我已经填过一次。
IP: 159.226.47.*   [58]吴思鑫   2013-5-25 15:22
wsixin邀请您访问CTEX社区
http://bbs.ctex.org/?fromuid=157781
IP: 59.174.44.*   [57]fisher007   2013-5-22 09:09
谢谢!我的本意是逻辑真是有特定含义的,你说的逻辑上数学为真的命题可以理解为在初等数论系统为真的命题,与逻辑真不是一回事。不完全定理更奇异的是,初等数论系统的一致性在形式系统PM不可证。
IP: 59.174.190.*   [56]fisher007   2013-5-21 11:09
“完备性(completeness),指所有的真理(逻辑上为真的数学命题),都能在这个系统里被形式证明(从系统里的定理或公理,按照形式逻辑的方法通过有限步骤推导出来”。
这里的概念是错误的。真理是指对PM的一个语句的解释为真,并不是逻辑上为真。在逻辑里,逻辑上为真的数学命题是PM的形式定理。形式与语义是不同的。
我的回复(2013-5-22 00:25):这里的真理指语义上,逻辑上指在元数学上的判断为真,并与系统里其他定理在逻辑上不矛盾。定理指被PM形式证明为真的命题。
哥德尔定理的证明就是谈形式和语义之间的关系,这将在后续几篇中会反复提到。你几个同样的评论已在博文中回复,不必止于这些初等认知上,有点耐心了解真正的证明逻辑。
IP: 111.160.191.*   [55]tjlaoji   2013-5-14 09:11
一是“合法性”,要有确定的规则(经过批准后固定下来),二是“技术性”,可以把错过的考试按权重补充到其他考试中去。
谢谢您的指教。
IP: 218.11.179.*   [54]tjlaoji   2013-5-13 22:47
尊敬的应教授,我又一次要麻烦您了,不知道您是否还愿意指导我?
我在一个中学里搞教务工作,要计算学生学期总评成绩,现在有这么个问题:
一学期4次考试:两次月考(平时考)\一次期中\一次期末,最后学期总评是平时(就是两次月考的算术平均值)占30%,期中30%,期末40%,一共100%,很好是不是?
但是现在有的学生因为某个原因——比如生病,或者半路由外校转进来——导致某一次或者某几次没有考,那我们应该怎么计算学期总评呢?我总不会这个问题。再有,学年总评要求第一个学期和第二个学期的总评成绩各占50%,那某一学期缺考几次的话,学年总评应该怎么计算呢?恕我鲁钝,求您指点迷津。
我的回复(2013-5-14 00:12):我也不是这方面的专家。一般来说,有规则的应该遵照规则。从合理性而言,期末考试应占最大权重,如果错过期末考试应该补考,如果只是错过月考或期中考,在情有可原时,将错过考试的权重加在期末考中,保持总体100%,也是一个合理的方案。当然,无论哪种合理方案,你要当作建议提出,必须经过上级批准后成为规则,才能实行。这是做事必须遵守的程序。
IP: 119.40.2.*   [53]levoalge   2013-5-10 11:13
有意见可以保留,有异议可以交流,骂人捣乱就纯粹是下流,请各位老师不必理会捣乱的马甲,只要您有理论要开讲,我们就真心聆听着!
IP: 119.40.2.*   [52]levoalge   2013-5-10 10:57
期待您对哥德尔定理的证明 这个定理我是只知皮毛、不谙内容!
IP: 119.40.2.*   [51]levoalge   2013-5-10 10:51
我读您的《我的科普帖前言 》这篇文章,拍案叫绝。言之有物、议题清晰、一气呵成、文字精炼、不肥不瘦,关键是给科普一个新颖、高价值的视角和方向!不是我在恭维您,很多网友的留言和我一样,有感而发!

正如您给我的留言,期待您的系列文章,对“神马是数学”做一下科普,当然适当增加一下深度,最好附上一下定理的证明,科普即课堂,我等只聆听不捣乱!

关于数学的科普,我这儿有几个建议,请您参考:
(1):在古希腊,数学是哲学的基础,思辨让人沉醉与纯粹,思维变得逻辑亦清晰;在古中国,数学是六艺之末,学好文武艺卖与帝王家,注定了功利性,且因无趣而枯燥。数学在中西方的这种差异,至今未变太多,这或许成了传统,而这个差异的核心就是兴趣,所以我觉得科普数学最基本的一个问题就是开启兴趣!只有兴趣成为一种风尚,中国才会有出现伯努利家族的可能,才会有小欧拉的诞生环境(中国应该不缺神童,只缺土壤)。
(2):兴趣,最好从系统的讲解数学史开始,数学的来龙去脉、前世今生;悖论诡辩、思想交锋;柳暗花明、分歧合统;大师之作、天才之成(比如伽罗华与他的理论),宛如一部演义,跌宕起伏引人入胜;又若一把拂尘,乱点疑点一并理顺,混沌初开云消雾散,简洁条理难舍难弃,数学之爱由此而生!
(3):给有志于斯的人一个展望,未来的数学走向何方,代数、几何、拓扑等的相互关联,最好能对一些公认的数学难题深度解读一下,让爱好者不止于皮毛!
(4):打擂还需有个擂台,给出您对数学的定义——逻辑与公理(最好提高一下深度,并附加证明),一方面对真正爱好数学真心向您请教的人普及一下数学基础,另一方面掏空捣乱骂人的马甲所赖以诡辩的基础,对与不对,一算即可!
(5):数学家的传记,触动心灵的良方。只是目前好多传记只记录人生、不传播思想,其实我们在传记中对数学的成就做一下较有深度的系统介绍会更好!总会发现一些人心情激动的说***数学家如何如何伟大,可是如何伟大不甚了解,一些理论只知皮毛不谙内容,在我们这个没有个人崇拜就不知道咋活的民族,英雄往往可远观而不可近玩焉,所以千万不要让数学被包装成英雄,打开所有的暗箱给数学家一个真实的伟大!
我的回复(2013-5-11 11:55):谢谢建言!
IP: 119.40.2.*   [50]levoalge   2013-5-9 16:59
我经常在您、程代展老师、曹广福老师的博客里溜达,坦率的说我更喜欢你们写的关于数学本身的文章,当然您和程老师的传记也很好,毕竟是关于数学的 。我发现你们在科普数学的时候都有些小心翼翼,我想各位老师应该是怕惹不起纠缠,坦率的说对捣乱的、骂人的,我觉得这与文人相轻的传统有关,他们在乎的是自己的那一点点所谓的面子,而非真正喜欢数学,如果真的是为数学的美所折服,有人可以讨论应该是求之不得,又怎么骂的起来!我还真担心在这些骂声的鼓噪下,大数学家们都避谈数学只写传记去了,如果没有知识的交流,那这个科学网还有神马意义呢!
我们这个国家要想在数学上有自己的地位,根本的不是参加神马世界奥数比赛,如何让学生去欣赏数学才是最重要的。
其实数学之所以让许多学生这么畏惧,根本原因不是数学的枯燥,而是数学被功利化,我们的学校不是在引导学生欣赏数学的美,而是在告诉学生它有用,分数大大的,仅此而已。
卡拉比和丘成桐是真正喜欢数学的,当丘成桐名不见经传的时候在一个重要的会议场合否定了卡拉比猜想,克拉比没有羞怒而是不耻下问(国内的一些大人物或许会不屑一顾嗤之以鼻,怎么可能,一个小人物),并在回去后仔细推敲丘成桐的证明(如果不是喜欢数学本身,哪有这个时间),发现证明的错误后书面向丘成桐指出(国内的大人物会认为更没必要),而丘成桐不仅痛苦的面对了这个事实(这么栽面子的事有些人会装看不见,因为他们要的不是数学而是面子,看看那些骂人的马甲就这样子),经过一段煎熬的历程证明了卡拉比猜想成立(如果不是喜欢数学本身,谁还会为这么栽面子的事情去努力,硬撑着,死活不认的人多了去了,何况那么多高手都对卡拉比猜想一筹莫展,介入这个猜想投入产出有风险)
我的回复(2013-5-10 00:30):我也许普及一下哥德尔定理的证明,让大家理解纯数学考虑些什么。
IP: 119.40.2.*   [49]levoalge   2013-5-9 15:15
您好应老师
我刚才又看了一下您博客中关于无穷大的文章、跟帖、以及您的回复,首先得说您的脾气真好,有些跟帖明显在捣乱,另外我也看了一下何华灿老师的跟帖,我感觉分歧在于大家站在不同的基点来看待无穷(技术的说技术、理论的谈理论),进一步说就是关于数学的本质大家不在一个基础上讨论,各说各话。当然我非常认可您对数学的定义,我个人认为数学就是逻辑路径,只关心前提与结果之间的逻辑可行性,与所谓的真理无关。
数学讲究严谨性,用给定的几条公理在给定的几个逻辑演算规则下运算,得出的结果即为定理。您何不就这些公理和逻辑演算规则写一篇文章,一来对大家做一个科普,二来也可以避免有些无休止的争吵,对与不对,演算一下就可以了!
如果我猜的不错的话,下面几个方面是您讨论问题的一些基础:
(一):命题逻辑
在此我从维基百科抄录自然演绎系统
(1)反证证明(否定介入)
从 φ → ¬ ψ 和 φ → ψ 中可推出 ¬ φ 。
(2)双重否定除去
从 ¬ ¬ φ 中可推出 φ。
(3)合取介入
从 φ 和 ψ 中可推出 ( φ ∧ ψ ) 。
(4)合取除去
从 ( φ ∧ ψ ) 中可推出 φ 和 ψ 。
(5)析取介入
从 φ 中可推出 (φ ∨ ψ) 和 (ψ ∨ φ) 。
(6)析取除去
从 ( φ ∨ ψ ) 、 ( φ → χ ) 和 ( ψ → χ ) 可推出 χ 。
(7)双条件介入
从 ( φ → ψ ) 和 ( ψ → φ ) 中可推出 ( φ ↔ ψ ) 。
(8)双条件除去
从 ( φ ↔ ψ ) 中可推出 ( φ → ψ ) 和 ( ψ → φ ) 。
(9)肯定前件(条件除去)
从 φ 和 ( φ → ψ ) 中可推出 ψ。
(10)条件证明(条件介入)
若假定 φ 为真可证明出 ψ ,可推出 ( φ → ψ ) 。

(二)谓词逻辑
在此不列了

(三)公理集合论
抄录维基百科ZFC
外延公理: 两个集合相同,当且仅当它们拥有相同的元素。
空集公理: 存在着一个不包含任何元素的集合,我们记这个空集合为{}。
配对公理: 假如x, y为集合,那就有另一个集合{x,y}包含x与y作为它的仅有元素。
并集公理: 每一个集合也有一个并集。也就是说,对于每一个集合x,也总存在着另一个集合y,而y的元素也就是而且只会是x的元素的元素。
无穷公理: 存在着一个集合x,空集{}为其元素之一,且对于任何x中的元素y,y U {y}也是x的元素。
分类公理(或子集公理):给出任何集合及命题P(x),存在着一个原来集合的子集包含而且只包含使P(x)成立的元素。
替代公理
幂集公理: 每一个集合也有其幂集。那就是,对于任何的x,存在着一个集合y,使y的元素是而且只会是x的子集。
正规公理 (or axiom of foundation): 每一个非空集合x,总包含着一元素y,使x与y为不交集。
选择公理: (Zermelo's version) 给出一个集合x,其元素皆为互不相交的非空集,那总存在着一个集合y(x的一个选择集合),包含x每一个元素的谨谨一个元素。

当然,在替换公里和空集公理下分类公理其实是一个定理,这个您不妨也在文章中做一下证明。
关于选择公理和良序定理、佐恩引理的等价关系,我觉得您不妨花点时间给出详细的证明,因为我发现好多书都简略然后直接应用。
关于无穷公理,我给出一个见解供您参考:
首先定义:
B是代数有限集合定义为:对任何f,若f是定义域为B 值域包含于B的单射函数,则f是定义域为B 值域包含于B的满射函数。
B是全序有限集合定义为:对任何R,若(BR)是全序,则R有最大值、有最小值。
B是有限集合:定义为: B与自然数集合的一个有限子集等势。
那么在选择公理下可以证明以上三种有限的定义是等价的。
之所以对有限集合要做这三个分类,是因为在讨论一元泛代数(就是值域包含于定义域的函数)、全序、序数基数(第三个有限定义)时各有用处。
另外我觉得,康托尔的等势概念最大的意义不在于比较大小,而在于两个等势的集合可以看作“相同的”,比如在代数、偏序等方面。
另外,我们通常所说的自然数集合N和整数集合Z是一个不准确的概念,我们都知道自然数集合N和整数集合Z是等势的,那么在此前提下整数集合Z上也可以建立自然数的运算规则,并在此意义下Z被变成一个自然数集合,那么现在我们称Z为自然数集合还是整数集合呢,纠结矛盾了  。所以所谓的自然数、整数、有理数,本质上是代数规则(群、环、域)的不同,而非他们所基于的集合的不同,很容易证明存在一个分别可以建立自然数、整数、有理数乃至代数数运算规则的集合。也容易证明存在一个可以建立实数、复数运算规则的集合,所以说实数、复数的本质是代数规则的差异,而非集合的差异。
我的回复(2013-5-10 00:27):现代的数学已经是一个庞大的体系,虽然很多人对其有个大慨的了解,有足够的训练只要花时间就可以深入,但没有一个数学家能够精通所有的领域,也没有足够的时间处处留心。所以我多数都只针对博客中的提问,给予简单的解答。

关于集合,代数,拓扑,分析等关系,在比较严谨的教科书学习中都能得到解答。数学的每一个基础都是一些专家毕生研究的对象,公理之间的组合、选择和相互关系并不像何教授想象的那样简单,光是一致性、完备性的考量就超出非专业人员的想象。我以后也许可以普及一下“什么是数学”的问题。
IP: 119.40.2.*   [48]levoalge   2013-4-25 09:15
“对所有的想法自己必须先看能不能有否定的例子,有没有说清楚。只有具备有这种自我挑剔检查能力时,才可能是严谨的,才能把发散的想法收拢思考些有意思的问题。”您这句话对我来说是一个很好的提醒,衷心接受
IP: 119.40.2.*   [47]levoalge   2013-4-25 09:12
谢谢应老师的指导,您真不愧是老师 一针见血,指出问题:确实,因为没有考试的压力,我在自学的时候会忽略做习题,按您的建议,往后一定加强,谢谢

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