思想海洋的远航分享 http://blog.sciencenet.cn/u/xying 系统科学与数学水手札记

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IP: 119.40.2.*   [46]levoalge   2013-4-24 18:10
您好应老师,我今天给您留言3条,有些班门弄斧,请您切勿责怪,谢谢!特别是符号这块,因为我英文不好,又想多了解些知识,我一直在想,如果数学家都用纯数学的语言来写论文,仅用英文或其他语言对思想稍作诠释,证明过程百分之九十数学语言,那数学就真的无国界了。其实逻辑加上集合论的符号一共没多少,容易理解,且表达全面无偏差,我去年买的丁石孙教授翻译的诺特高徒荷兰数学***的代数学,坦率的说,里面思想很深很精炼,读来很受益,就是文字表达很粗糙,看着真累。即使用符号也不需要记很多符号,只要定义同态、同构、子代数等等几个即可,其他的概念可用这几个组合而得!
我的回复(2013-4-25 03:16):你有很多想法,并且学习了不少概念,这很好。但是对于一些概念的真正理解需要,深入的思考后才能掌握。我看了你很多留言后觉得你在学习这些数学内容时,一定没有做过习题,所以这些知识都是夹生的。这让你有很多想法,但是很多的错误都是很简单。
对于很多自学的人,因为没有作业和考试的压力,忽略了这方面的要求,所以对定义和定理的理解只是表面的,没有深度的了解。要改变这个局面,只有从基本概念开始老老实实地做习题。
对所有的想法自己必须先看能不能有否定的例子,有没有说清楚。只有具备有这种自我挑剔检查能力时,才可能是严谨的,才能把发散的想法收拢思考些有意思的问题。
IP: 119.40.2.*   [45]levoalge   2013-4-24 17:34
您好应老师,关于这个结论,我也是这几天在坐地铁的时候思考了一些线索,还没有找个时间在纸上完善一下证明,我把思路向您做一下介绍,包括后面第八条对符号的一些看法,班门弄斧,(下面出现的有些结论我确实已经证明,请您权且认可),请您指教。

第一:对于 f: B——B类型的函数,可以认为是一元的泛代数,我个人有个记号alg(B f)
第二:仿照群论子群的概念,设alg(B f),alg(B ‘  f ‘  ) 满足B ‘ 是 B子集、 f ‘ 是 f子集,就称(B ‘  f ‘ )是(B f)的一元子代数,此处简称子代数,这个概念的本质就是B ‘ 对 f 是封闭的
第三:设alg(B f),x属于B,仿照群论,定义<x>为(B f)中包含x的的最小子代数,称<x>为x生成的子代数
接下来,
第四:在B上建立一个关系:x~y定义为<x>与<y>的交集不空,则可得~为等价关系
第五:根据等价关系~将集合B划分为两两不交的子集族E , 满足E的并集=B,且f 在E 内的任何一个子集上封闭。
第六:仿照群论中<x>与整数集合的关系,可得在一元代数下,<x>是自然数集合N到B的满射同态像(此处同态可仿照群论建立)
第七:第四——第六合起来可得在 f  单射或满射时的结论。关键也在第七,只是需要比较长的文字证明,电脑上不便写出。
第八:关于符号,下面一些做法应该有益的,特别是在符号推理时候,比如可用groupS(Bf)——>groupX(Bf)来表示素群是循环群,仿照素域,我把素群定义为所有子群都与之同构的群,以groupS(Bf)表示,循环群以groupX(Bf)表示,可得整数群等价于无限集合上的素群:
(1)把(B f)是群记为group(B f),(B f)是半群记为group(B f) 1/2(此处的1/2应写在group(B f)右上角,我电脑打不出来),(B f)是幺半群记为group(B f) 1/3。
(2)同样,对于序,我以line替代order,把(B R)是全序记为line(B R),(B R)是偏序记为line(B R) 1/2(此处的1/2应写在line(B R)右上角,我电脑打不出来),(B R)是预序记为line(B R) 1/3。
(3)一些特殊的,自然数半群(不含0)记为groupN(B f) 1/3,自然数幺半群(含0)记为groupN(B f) 1/2,整数加法群记为groupN(B f)
(4)若定义lineN(B R)为1:line(B R),2:对于B的任何非空子集B',若B'有上界,则B'有最大值,若B'有下界,则B'有最小值。
(5)若定义lineN+(B R)(此处+应写在lineN右上角,我电脑打不出来)为1:lineN(B R),2:B无上界,则可得lineN+(B R)就是我们通常所说的自然数的序的特征描述
(6)同样整数的通常序的特征描述是1:lineN(B R),2:B无上界,3:B无下界
IP: 119.40.2.*   [44]levoalge   2013-4-24 16:03
这个结论我感觉具有基础性的价值,如下:
(1):对于  f: B——B类型的单射和双射函数,给出了一个离散化研究的途径
(2): f: B——B类型的双射函数对于群、环、域等代数结构、序结构的自同构问题,集合间的等势问题,乃至拓扑 同胚问题,给出了一个离散化研究的途径
(3):f: B——B类型单射函数的离散化可以证明Cantor-Bernstein-Schroeder 定理:如果 | X | ≤ | Y | 及 | Y | ≤ | X | 则 | X | = | Y |,且和伯恩斯坦-施罗德的证明异曲同工。
我对这个结论已经获得了一些证明上的线索,正在完善,希望有机会请您指正,谢谢。
IP: 119.40.2.*   [43]levoalge   2013-4-24 15:35
您好应老师,又要向您请教个问题

考察自然数集合N上的函数f(x)=x+2, 可以得到N的子集族E={偶数集合、奇数集合}满足:
(1):E内的子集两两不交
(2):E的并集=N
(3): f 在 E 内的子集上封闭,即 f(偶数)=偶数,f(奇数)=奇数
(4):设 f1 是 f 在偶数集合的限制(即f1的定义域是偶数集合,f1(x)=f(x) ),f2 是 f 在奇数集合上的限制(与偶数集合限制雷同),则 f1 和 f2 都属于下面 g 这个类型的函数:    g(x)=x+1,g的定义域=自然数集合N


请问现在有没有一个定理证明下面的猜测:
设函数f的定义域是B,值域是B的子集,
则:
第一:若f是单射函数,则存在B的子集族E满足:
              (1):E内的子集两两不交
              (2):E的并集=B
              (3):f在E内的任何一个子集上封闭
              (4):f在E内任何一个子集上的限制(概念如上雷同)必是下面(类型1)(类型2)(类型3)三类函  数之一
第二:若 f 是双射函数,则存在B的子集族E满足:
              (1):E内的子集两两不交
              (2):E的并集=B
              (3):f 在E内的任何一个子集上封闭
              (4):f 在E内任何一个子集上的限制(概念如上雷同)必是下面(类型1)(类型3)两类函数之一

函数类别:
(类型1):定义域是自然数集合,值域是自然数集合的子集,函数值f(x)=x+1
(类型2):定义域是整数集合,值域是整数集合的子集,函数值f(x)=x+1
(类型3):定义域元素有限个,定义域=值域={x1、x2、x3 .............. xn},且f(x1)=x2, f(x2)=x3...............,f(x n-1)=f(xn), f(xn)=f(x1),即此函数是有限个元素首尾相接组成的环形结构。
我的回复(2013-4-25 02:07):你这里三种类型只涵盖了定义域为自然数、整数和有限的情况,所以对定义域不是这些情况的函数显然两个猜测(4)都不成立。

其次,你对函数f的观念不清,一会儿是B到B的函数,一会儿是B到E(B的子集族)的函数。大约你想做的是用一个函数将定义域集合分解,这个分解可以是非常多种,给两个特殊的例子你可以想象。函数恒等I(x)=x,投影P((x,y))=(x,0)。

这些内容都是很简单的,你在学习集合和映射概念时,作为练习都不是困难的。
IP: 119.40.2.*   [42]levoalge   2013-4-24 09:44
谢谢应老师
IP: 119.40.2.*   [41]levoalge   2013-4-23 17:04
您好应老师,请问有没有这么一个定理(不用选择公理证明):若集合B可以良序,则B的幂集也可以良序。或者说由自然数集合可以良序能够推出实数集合可以良序,谢谢!
我的回复(2013-4-24 01:19):选择公理和Zermelo定理(所有集可以是良序的)等价。
我不知道集合和它的幂集之间的良序关系。
IP: 202.98.13.*   [40]赖永   2013-4-20 10:12
好的,谢谢老师耐心地讲解
IP: 202.98.13.*   [39]赖永   2013-4-20 08:54
谢谢老师,您的例子很好,我理解了。我还想问一下如果直接说well-founded partial order还会有争议吗
我的回复(2013-4-20 09:52):"well-founded"也不是数学中常用的术语,所以无论是这个还是well partial order只是在偏序上定义的特殊一类关系,在写论文或与不知道其来源人交流时,要重复其定义。
IP: 202.98.13.*   [38]赖永   2013-4-19 15:10
老师,您说的我好像能理解。我想问一下,给定存在最小元的偏序(S, <)以及S的有限子集S',其中S为可数无限集,那么小于S'中任意元素的所有元素中是否存在一个最大元素。我理解如果<是良偏序,答案是肯定的,因为小于S'的某一元素的元素数是有限(我不知道这样理解对不对);如果<不是良偏序,我就不知道答案了,老师能对这个问题给我一些提示吗
我的回复(2013-4-20 01:12):{-1/n | n=1,2,3...}U{a, b}, -1/n<=a, -1/n<=b, 这是个有最小元-1可数偏序集,有限子集{a, b}没有最大下界。

注意到你反复提到的良偏序,这不是通常数学里偏序和良序的概念,查了下,大约是新近计算机科学里定义的概念,不大熟悉其性质,在wiki上对其提法也有争议。http://en.wikipedia.org/wiki/Talk%3AWell_partial_order
IP: 202.98.13.*   [37]赖永   2013-4-19 13:19
老师,我理解如果是存在最小值的well partial order的话,肯定会有下确界。对于一般的存在最小元的偏序集合,我目前还理解不了,老师能给我一些提示吗
我的回复(2013-4-19 14:30):良序的定义是:在线性序下任何子集都有最小元。作为例子,自然数在大小关系下是良序,实数则不是。
对于一般的存在最小元的偏序集合,不一定是线性序,它的子集的元素不一定有序关系。[35]中回复的例子就是说明这个问题。
IP: 202.98.13.*   [36]赖永   2013-4-19 11:54
老师,您刚才说的结论在无限可数集上也成立吗
我的回复(2013-4-19 12:04):这在逻辑上有区别吗?
IP: 202.98.13.*   [35]赖永   2013-4-19 09:57
谢谢老师的解答。我看wiki上的well order中的序好像特指线性序。给定可数集合,我能理解有限集合在线性序下有最小元,无限集合在线性序下可能没有最小元,有限集在偏序下可能没有最小元。对于可数集合上的含最小元的偏序关系,我不知道有限子集是否有下确界
我的回复(2013-4-19 10:38):含最小元的偏序关系{a, b, c}, a<=b, a<=c,  子集{b, c}没有最小元。
a是集合中所有元素的下界,它当然也是所有子集元素的下界。但a如果不在子集中,这下界也不在子集中。
IP: 202.98.17.*   [34]赖永   2013-4-18 18:08
老师,我又来向您请教了。我想问一下,给定一棵树,树中节点是可数的,那么在树的祖先-后代关系R下,任意有限的节点子集都存在下确界吗,还是要规定R是well partial order(这个词不知是不是翻译为良偏序)
我的回复(2013-4-19 01:21):一般没必要写作well partial order,只是well order,译为良序。

有限集合在linear order关系下都有最小元。
IP: 119.40.2.*   [33]levoalge   2013-4-18 09:32
谢谢应老师的建议,数学的美总会让我激动不已,只要思考数学我就烦恼全消,其他都变得不重要。以前感觉很寂寞,没人交流没人分享,别人不能理解我不好好上班挣钱却看一些稀里古怪的符号,我在读数学史的时候,我真羡慕欧拉、高斯那个时代的西方数学家,有那么多的人欣赏数学、可以彼此交流。认识您我很高兴,我先按您的建议强化基础,有不明白之处还要向您随时请教,谢谢!
我的回复(2013-4-18 11:14):  
IP: 119.40.2.*   [32]levoalge   2013-4-17 16:55
谢谢应老师,您的建议很中肯。您在文章中曾经描述过您和程代展老师对拓扑学的欣赏,请问要系统的学习拓扑学,应该涉及到那几个领域。我读过点集拓扑(分离公理、可数公理、连通、紧致),基础组合拓扑(同论、同调、基本群),同调代数,拓扑群、环、体、模,微分几何看的还不是很透彻,指标理论刚刚了解了一点还不得要领。
我的回复(2013-4-18 01:06):看来你确实喜欢数学,书读很多知识面也很广,这很好。从前面讨论里,我觉得可以集中一些,把基础打好,这样各种知识就可以融会贯通,有机组合起来。这个入手点是“点集拓扑”,从集合、势、邻域、拓扑空间、收敛到紧致。后面的部分可以缓一点,先把这几章学好。
找一本严谨的教科书,把那里的每一道习题做过。将这里有关的所有概念和证明都质疑落实到集合和逻辑上,你就会感到有了坚实的基础,没有什么含糊不清说不明白的地方。这能完成数学的严谨性和基础知识的训练。花上半年一年时间做到这一点,你会比国内一般数学专业出身的有更精纯的基本功。
在公理化数学里,点集拓扑是分析、概率等大半传统数学的基础。作为基础,它不依赖于其它知识,但有了其他知识你对它的概念和事例有更深刻的理解。我们是学过抽象代数、概率、实变、泛函分析后才回来补这基础的。这当然不是必要的预备知识,但至少有微积分和多些分析方面的基础,才能明白那里定义、概念深刻的含义。
IP: 119.40.2.*   [31]levoalge   2013-4-17 14:07
谢谢应老师的热心指导 ,您能和我交流我很高兴,民数最大的孤独就是没人交流,真希望大数学家们都能如您一样愿意和我们交流,用一句拉格朗日的名言:“ 学学  欧拉(能 和小学生交流)”。不是所有的民数都为名而来、好高骛远、自我陶醉,用一生二、二生三、三生万物的玄学宣称证明费马大定理,毕竟还有一些民数读过数理逻辑、知道公理集合论、熟悉群环域、必须的学了基础的拓扑、阅读了庞加莱的组合拓扑、深入过同调代数,了解伽罗华理论(我觉得讲解伽罗华理论最好直接从域论开始,解方程作为其一个应用即可,这样便于理解)能分辨一些争论
,最关键的认同逻辑、欣赏公理化的简洁和强大(读过您对何灿华统一无穷怪论的分析,其实一个集合的势严格小于其幂集的势的逻辑证明很简单很清晰,只是我们这个从不注重逻辑的民族总会一些人视而不见),对这样一些民数真希望大数学家们不要仅仅做科普、至少愿意和他们交流一下,因为这些民数迷恋于数学的美,不为虚名(如果数学的美能俘虏我们这个民族百分之一的人,那么我们也会有欧拉、高斯,只可惜我们这个民族很多人只想俘虏数学为自己谋一份名利,若如此还不如直接考公务员。真不明白,我们中国的科学家为什么总爱用获得国***奖、承担***项目来证明自己,再多的这些奖也不如陈类、吴类、卡拉比-丘流形更能证明自己,如果学数学是为这样的 名,至少这是实实在在的名、令人仰止可传万年的名!)。看过应老师对一些留言的回复,似乎看到了欧拉的谦虚风采,一个伟大的世纪因为有那个伟大的人,虚怀若谷、不拒布衣、真诚高尚(伽罗华理论在其生前不被人理解<1832年死> ,当刘维尔发现了她的精髓<1846年>,约当的《论置换与代数方程》问世<1870年>,伽罗华已经沉寂二三十年之久,岁月都淡忘了他,但是刘维尔、约当还是给了伽罗华应有的名誉,那是一个多
么伟大的理论呀,而刘维尔、约当不贪人之功又是一种多么高尚的情怀,这种情怀在我们中国又有几个呢)
我的回复(2013-4-17 15:21):谢谢!其实不必再乎是不是民数,数学最重要的是讲逻辑,对和错与学识和出身都无关。对于没有受过系统训练的人,对于感兴趣想钻研的问题,需要了解一下涉及那些基础知识,然后找几本书看一下做过习题,会事半功倍。有些人钻研了几年的问题,都在原地打转,其实认真学一门课也就是几个星期,至多几个月的事。所以对数学有兴趣的人,能静下心来学习积累多了就是数学家,跟有没有学位没关系。
IP: 119.40.2.*   [30]levoalge   2013-4-17 10:48
另外,想必您也注意到无论康托尔还是戴德金的实数定义都离不开实数上的序,能不能仅用代数语言(域或体)来定义实数呢?实数域R有一个特点:存在R的加法群到R的乘法群的单射同态(指数函数即是),能不能证明:若域 B满足存在B的加法群到B的乘法群的单射同态, 则 域B与实数域R同构。若这个猜测可证明,那么定义实数域为存在加法群到乘法群单射同态的域。同样我也猜想复数域是存在加法群到乘法群满射同态的域。(复数域的这个加乘同态也是指数函数)
我的回复(2013-4-17 11:59):代数运算只是集合元素间的映射关系,实数还有距离等拓扑关系,性质比代数关系丰富多了。建议读些点集拓扑的教科书。
IP: 119.40.2.*   [29]levoalge   2013-4-17 10:30
谢谢应老师,您给出的反例让我豁然开朗,很惭愧我还说这个猜测很难,惭愧!可否请您再思考下面这个猜测:我们知道有理数集合Q在其顺序下有以下特点(1)Q内无最大值 、无最小值。(2)Q内任何x和y,若x<y,则Q内存在z满足x<z且z<y,即稠密性。请您证明若Q的子集 Q” 满足上述(1)和(2)两个条件,则Q 和 Q“  序同构。若这个猜想可以证明,就可以把有理数的序描述为最小的稠密序,即:全序B 与有理数Q序同构 的等价命题是(一):B满足上述(1)(2).(二)B 的子集 B“  若满足上述(1)(2),则B 与 B”  序同构 。因为我已经证明了任何一个全序 B, 若 B 满足上述(1)和(2),则存在B的子集 B”  满足B“  和 有理数 Q 序同构。
我的回复(2013-4-17 11:28):满足这两条件的也不能与Q序同构。例如Q" = Q\[0, 1],满足(1)和(2),很容易看出没有一个保序的双射。
这些问题都不很难,建议你读一下点集拓扑第一章,做过所有习题,加强基本功再考虑难题。
IP: 119.40.2.*   [28]levoalge   2013-4-16 11:15
应老师您好,下面这个猜想非常难,但是很有价值,可否请您证明一下,谢谢:
首先给出下面三个定义
定义1:全序空间(B≤)
集合B上的二元关系≤ ,对于 B 中的所有 a, b 和 c 下面条件成立:
如果 a ≤ b 且 b ≤ a 则 a = b (反对称性)
如果 a ≤ b 且 b ≤ c 则 a ≤ c (传递性)
a ≤ b 或 b ≤ a (完全性)

定义二: 序同构
      定义:全序空间 (A,<)与 全序空间(B,≦)序同构,当且仅当,存在一个双射f : A → B,使得 a <b → f(a)≦f(b)且f(a)≦f(b) → a <b。

定义三: (B’ <’) 是 (B <)的子序空间
1:(B’ <’) 和 (B <)都是全序空间
2:B’ 是B子集
3: <’ 由 < 决定,即为 <’ 是 < 的子集

请您证明下面定理

若 1:(A’  <’) 是 (A  <)的子序空间   
2:(B’ 《’) 是 (B 《)的子序空间
3:(A’  <’) 和 (B 《)序同构
4:(B’ 《’) 和 (A  <)序同构

则(A  <)和(B 《)序同构
我的回复(2013-4-17 06:31):这个定理不成立,这是个反例,令:
(B 《) = R实数集,大小为序,
(B’ 《’)  = {0} U R+,0和正实数,
(A '<’ )= {exp(x) |x ∈ R },大小为序 与 (B 《)序同构
(A < ) = {0} U (A '<’ ) = (B’ 《’)
但(A < ) 有最小元0,(B 《) 没有,所以不能序同构。
IP: 1.24.29.*   [27]白图格吉扎布   2013-4-7 15:39
谢谢应老师的回复,访问和评论。非零的问题确实很关键,无论在理论上还是应用上。
草原系统退化趋势预测,实质上是生物多样性的监测。当一个物种消失,监测就‘完了’:‘完蛋了’,或说‘完成了’,目的达到了。系统已经发生了‘质’的变化,‘量’的监测、分析就已经多余了。
重新在M-1维空间恢复监测就已经应该是另外一回事了。

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