Zmn-1108 薛问天: 要认清客观存在大量无穷过程，它不可半途中止，但却可整体结束和完成。评林益的《1106》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对林益先生的《Zmn-1106》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

要认清客观存在大量无穷过程，它不可半途中止，

但却可整体结束和完成。评林益的《1106》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

林益先生在【分析“自然数数列”是否“结束完成”】。实际上是在讨论【生成自然数序列(或集合)的操作过程能否“结束完成”】 。说穿了，就是说有人质疑集合论中承认所有自然数构成的自然数的无穷序列和无穷集合的存在。因为他们认为【生成自然数序列(或集合)的操作过程不能“结束完成”】

所以【所有自然数构成的自然数的无穷序列和无穷集合並不存在】。或者认为存在的仅仅是没有最后完成的，正在动态生成中的对象。

我认为关键是缺乏对无穷过程的认识。不了解客观上还存在大量的无穷过程，这些无穷过程是无穷的，不可半途中止，但是又是可以最终【结束完成】的。

有穷过程，大家熟悉，常見。它由一次次的某种操作构成。什么叫有穷过程的【完成和结束】非常明确。这个过程有开始的一步也有最后的一步。当扏行完最后一个操作。过程就【完成和结束】了。而且很明确，过程的完成结束，说明操作执行了有限步。这只能是个有限过程。

问题在于客观世界中，还有一种过程叫无穷过程，虽然也可由一次一次的操作构成，但它同有穷过程不同。它是无穷过程。它的这个操作无穷次地扏行，不让它中途中止。但是整个过程又是可以【结束完成】的。而且结束完成并没有最后一个操作，当然也没有最后一个操作扏行和完成的时刻。你不能不承认有这样的无穷过程。

最简单的例子就是小球从坐标0点运动到坐标1点时，要经过无穷个点，这无穷个点坐标是0.9,0.99,0.999,...。小球经过这无穷个点的过程是一个点一个点逐步经过的，经过这无穷个点的过程是无穷过程，不会让它半途中止。当小球到达1时。这个无穷过程肯定是【结束完成】了的。没有人能认为它经过这无穷个点的过程是没有【结束完成】的。而且大家都知道这无穷个点中没有最大点。当然也没有经过这最后一个点的时刻。没有人能否定这个无穷过程的存在。

1，林益先生说【一次又一次的生成自然数，当然生成都是有限的自然数，只要结束完成，那么也只能生成有限多个有限的自然数，】问题就出在没有认清自然数的生成过程是个无穷过程。无穷过程并不让它半途中止。半途中止只能生成有限个自然数。而让无穷过程整体完成。则能生成无穷多个自然数。

小球经过这无穷个点。如果半途中止，那它只能经过有限个点，但整个无穷过程的完成，就使小球经过的所有这些点的个数有无穷多个。自然数生成的无穷过程完成后，虽然每个自然数都是有限数，都是由0经有穷次的后继运算得到的。但所有自然数却有无穷多个。

2，是的。自然数生成的无穷过程中，后继运算【不断处于动态延伸过程中】，只是要求这个无穷过程不可半途中止，因为半途中止【只能生成有限自然数数列或有限自然数集合】。但是整个无穷过程并不是【不能完成，也不能结束】。当这个生成的无穷过程全部【完成和结束】后，自然数的无穷数列和无穷自然数集合就脱离了【处于延伸过程中 】的变动状态。形成确定的静态的无穷集合和无穷序列。当小球运动到1这个点后，小球就不会再动态地经过这无穷个点了。这无穷个点全部处在它的身后。如果经过点时，点闪闪发光。那么当全部经过这些点后，这些点就静静地不再发光了。

3，当然对无穷过程的认识，最重要的一点就是要认识到无穷过程的完成，并不一定有最后一次操作。如果认为生成自然数的无穷过程有最后一次操作，【那么必有最后一次产生自然数的操作过程，生成的必然就是所有操作生成的最大的自然数，】但是我们知道自然数没有最大的自然数。

一定要认识到，无穷过程的完成不一定有最后一次操作。小球经过这无穷个点的无穷过程可以完成，但在它经过的这无穷个点中，并不存在有最后一个点。

4，自然数集合不存在最大自然数，这是大家共识的事实。

至于说到"自然数集合不存在最大自然数的必要条件”，那当然是自然数具有的这个性质: 任何自然数加1的后继仍是自然数。任何自然数的后继数n+1都比原数n大。认为必要条件是自然数有这个特性。当然是对的。

至于说这个必要条件是自然数的生成过程是无穷过程，没有最后一个操作，当然也是对的。但是说因此这个生成的无穷过程就不能完成，真正确定的无穷集合和无穷序列并不真正存在。认为存在的无穷集合和无穷序列始终处在动态的生成过程，集合的元素还在不断增多，序列的项还在不断增加。【自然数数列的项的值不断增大，自然数数列的项数也不断增加，自然数集合的元素个数也不断增多，】当然是不对的，不符合事实。已经生成完成好的自然数集合当然元素个数不能再增多。无穷序列的项数也不能再增多。这些动态增加的过程是生成过程进行的状态，生成的无穷过程完成后，就没有这些性质了。

5，在集合论中是用自然数的有限集合来定义自然数的。即0是空集{}，任何自然数n={0,1,2,...,n-1 }，都是自然数的有限集合。但这样的有限集合有无穷多个。这些有限集合的外延确实在一个个地不断增加。但这些全是各个有限集合的外延。这无限个有限集合的并集才是我们常说的所有自然数构成的无限集合。这个无限集合的外延就是全体自然数。这个无限集合的外延已是固定不变的确定外延。不会再增加了。这点一定要认识清楚。

关于其中用到的并集运算U，有两种必须认识清楚。它有严格的定义，第一种是两个集合A，B间的并集运算。AUB={x丨x∈A∨x∈B}。

后继运算{𝒏}∪𝒏用的就是这种并集，一次后继用一次并集，生成每个自然数时用有穷次并集运算，所以对于每个自然数的生成，都是完全合乎有穷逻辑的要求，不存在任何问题。

这里要注意的是在形成所有自然数集合时要用到无穷个有限集合的并集。这里的并集并不是无穷次上述两个集合间的并集运算。因为是不允许有无穷次运算的。这要用到第二种并集运算的定义，即集合S的并集，

∪S={x丨(⺕y)(y∈S∧x∈y)}。

即S是个以集合为元素的集合，US是S中所有元素的元素构成的集合。因而所有自然数的集合N=UN。等式右端的N是所有那些无穷多个由自然数的有限集构成的集合。相当于一次并集运算，就不存在无穷次并集运算的问题了。

6，关于后继运算{𝒏}∪𝒏。

请大家注意的是，{𝒏}∪𝒏只是集合论对自然数后继运算的定义。全面还要看自然数的定义。

我在《1103》中说到集合论中对自然数的定义:

〖(1)空集是自然数。

(2)若n是自然数，则nU{n}是自然数。

(3)所有的自然数都是由(1)和(2)得到的。

要知道这就等价于自然数的皮亚诺公理。因为公理3和公理4可由空集和后继的定义nU{n}的性质推出。而(3)就是【公理五: 任一自然数都可由0经有穷次的后继运算而得到】。〗

要知道自然数的定义。和自然数的皮亚诺公理。这就是数学业界经过长期的实践和研究【总结抽象出来的自然数数列或自然数集合形成的规律，它决定自然数数列或自然数集合的属性。】

7，是的。自然数适用数学归纳法。这是皮亚诺自然数公理的公理5。而且可证【任何自然数可由0经有穷次的后继运算而得到】是公理5的等价公理。

8，对于有些词的含义可以具体分析，可以尽可能地达到共识。如【任意】和【所有】，在什么情况下含义相同，在什么情况下含义不同。我认为可以这样来界定。当【所有】指的是个体特性时，同【任意】的含义是相同的。但当【所有】指的是集体特性时，同【任意】的含义是不同的。如口袋里的【所有】球都是黑色的。同口袋里的【任意】球都是黑色的。含意完全相同。因为黑色说的是个体特性。如口袋里的【所有】球共有十个:。就不能说口袋里的【任意】球共有十个。因为共有十个是整体特性不是个体特性。

要知道在数理逻辑中，全称量词(∀x)P(x)中量词后的谓词P(x)，正好指的是个体的特性而不是指集体的特性。所以在全称量词的这个∀x，它的含义全指的是个体，因而把它理解为【所有】和【任意】则是完全相同的。同样，在数学归纳法中由于性质P所指都是自然数个体的属性，而不是集体的属性，所以任意自然数具有性质P同所有自然数具有性质P的含意，就是完全相同的。关于这点，我认为在业界应该达成共识而没有异议。数学是严谨的，不能【各人有各人的理解】。

林益先生说【人类不仅仅要依靠感观，更重要的是依靠思维。】这点我非常同意。对人的思维能力绝不可低估。感性认识要靠理性认识来提高。特别是对无穷过程可以完成的认识，主要靠理性，靠感性是很难认清的，因为无穷过程靠人一步步去作，是无法实施完成的，时间和空间都受到限制。

我感到有些遗憾的是林益先生没有讲出他依靠思维。具体做了那些【分析自然数数列或自然数集合的特点，】得出了什么【正确的结论】和【正确结果】 。我感兴趣的是具体的内容。你承认不承认无穷过程可以完成。承认不承认确定的自然数无穷数列和自然数无穷集合的存在。如果无穷自然数集合是动态的，一直处于延伸过程中。请问区间[0.1]中的实数无穷集合，是否也是动态的，一直处于延伸过程中......。

【编者注。读者可点击頁面最上面的〖博文〗这个选項，来查找本《专栏》的其它文章。】