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Zmn-1117 薛问天: 试答新华《1114》所提有关微分的问题。
【编者按。下面是薛问天先生的文章,是对新华先生的《Zmn-1114》一文的回复。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神,对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意,也有些有严重错误的文章在这里发布,就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】
试答新华《1114》所提有关微分的问题
薛问天
xuewentian2006@sina.cn
1,问: 【如果函数𝒚=𝒇(𝒙)的导函数存在,即𝒚′=𝒇′(𝒙),则∆𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙+𝒐(∆𝒙),是否可以有𝒅𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙呢? 】
答: 当然。如果函数𝒚=𝒇(𝒙)的导函数存在,即函数𝒚=𝒇(𝒙)在x的各点均可导。可导同可微的条件是一样的,只要函数可导,就可微(详見后面3中的证明)。函数𝒚=𝒇(𝒙)在x的各点的因变量微分都是𝒅𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙。这没问题是正确的。
2,从导数的定义知:𝒇′(𝒙)=𝐥𝐢𝐦[∆𝒙→𝟎](∆𝒚/∆𝒙),在这里求极限时要求∆𝒙≠0。所以在这个求导数的极限运算时是要求∆𝒙≠0的。
在微分定义中的根据∆𝒚=A∆𝒙+𝒐(∆𝒙)。注意这里对每个具体的点x的,A都是一个常数。因而,在可微时,当∆𝒙→𝟎时,∆𝒚/∆𝒙→A。即可导且𝒇′(𝒙)=A。∆𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙+𝒐(∆𝒙)。𝒅𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙。
也就是说,微分是这样定义的。如果有∆𝒚=A∆𝒙+𝒐(∆𝒙)。则令微分𝒅𝒚=A∆𝒙,𝒅𝒙=∆𝒙。即在定义的微分𝒅𝒚和𝒅𝒙中,是允许∆𝒙=0的。
但是,在证明𝒇′(𝒙)=𝒅𝒚/𝒅𝒙时,要使微商𝒅𝒚/𝒅𝒙=(𝒇′(𝒙)∆𝒙)/∆𝒙=𝒇′(𝒙),必须要求∆𝒙≠0,同时这里也要求𝒅𝒙≠0。
所以在这里新华先生说【表明𝒅𝒚/𝒅𝒙、𝒅𝒚、𝒅𝒙和𝒇′(𝒙)都是在极限运算过程中把∆𝒙当成 0 处理的条件下得到的,】是不对的,应该说在求导数𝒇′(𝒙)时,以及在证明和表示𝒇′(𝒙)=𝒅𝒚/𝒅𝒙时,要求∆𝒙≠0,𝒅𝒙≠0。但对于定义的微分𝒅𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙和𝒅𝒙=∆𝒙中,却是允许∆𝒙=0的。在什么情况下允许∆𝒙=0,在什么情况下允许∆𝒙≠0,都有严格的规定和区分,所以并不存在∆𝒙=0 和∆𝒙≠0 的矛盾,即贝克莱悖论。
3,新华先生认为∆𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙+𝒐(∆𝒙)这个表达式只对部分函数有效,说【其它函数都不具备这样的条件】。这个看法不对。实际上可证,只要函数可导,就可微,这个表达式是普遍有效的。
【证明】。我们知道当∆𝒙→0时∆𝒚/∆𝒙→𝒇′(𝒙),如果令∆𝒚/∆𝒙-𝒇′(𝒙)=φ(∆𝒙),意味着当∆𝒙→0时,φ(∆𝒙)→0。
由∆𝒚/∆𝒙-𝒇′(𝒙)=φ(∆𝒙),可知∆𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙+φ(∆𝒙)∆𝒙,因为当∆𝒙→0时,(φ(∆𝒙)∆𝒙)/∆𝒙=φ(∆𝒙)→0。即可知其中φ(∆𝒙)∆𝒙是高级无穷小。从而得到∆𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙+o(∆𝒙)。【证毕】
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