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声学量的复数运算
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南京大學聲學研究所 王新龍
振动与声学量虽然是可观测的实数物理量，但也可用复数表示。复数表示不但可极大地简化数学演算，还可彰显其物理意义，因此无论在线性还是在非线性的声学理论中均广泛采用复数表示声学量。本文简述声学量的复数表示及运算规则，并举例说明。
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设小写的x为实数量，而大写的X 为对应的复数量，即 x = Re(X)，其中Re(X)表示取复数量X的实部，即
x = Re(X)=(1/2)(X+X*)
其中右上标的星号“*”表示复共轭操作。显然，实数量x与其对应的复数量X并非一一对应。复数量X加上任意的纯虚数jy并不影响其意义：
x = Re(X) = Re(X+jy)
一、加法规则若x，y和z为实数量，a和b是任意的实数，z=ax+by。设x，y和z对应的复数量分别为X，Y和Z，即x = Re(X)，y = Re(Y)，z = Re(Z)，则因
z = ax+by = Re(aX+bY) = Re(Z)
所以，复数量X, Y, 和Z之间存在以下关系
Z = aX+bY
现设x是时间 t 的函数：x=x(t)。它对应的复数量X也是时间的函数：X=X(t)。由于导数和积分本质上是线性加法运算，因此存在关系：
即复数dX/dt是实数量导数dx/dt对应的复数量，复数积分∫Xdt是实数积分∫xdt对应的复数量。
二、乘法规则 现设z是x和y之积，z= x y，对应的复量为Z。根据定义， z = xy = Re(X) Re(Y) = Re(Re(X)Y) = Re(X Re(Y))
所以，
（1）
或者，
再次申明，公式（1）中两个表式所给出的Z数学上严格而言是不等的，只因Z的实部才有物理意义，故两种表示物理上等价。
三、时间简谐量的周期平均值复数表示对于简谐声学量的计算尤其有效。假设与时间 t 的依赖关系为exp(jωt)，其中ω=2π/T 为频率，T是振动周期，j是虚数。例如，X和Y是时间简谐的复量
其中，Xa和Ya分别为X和Y的复振幅，是与时间 t 无关的常数。则有
根据（1），此时乘积z=xy的复数表达式为
上式第二项有时间依赖关系exp(2 jωt)，描述了乘积量z的瞬态运动。这是一个二次谐波（频率2ω），其周期平均为零。第一项是与时间无关的“直流”项，等于复量Z的周期平均值：
所以，乘积量z=xy的周期均值为
即，存在以下重要的乘积平均法则
（2）
对于简谐振动而言，振动物理量本身的时间均值往往为零。但如振动量的乘积等非线性运算，多产生类似的“直流”项，因而平均值非零。 “直流”和高次谐波的产生为典型的非线性效应。
以下以若干典型振动与声学量为例，说明复数运算的应用。
单振子周期平均能量
设有质量为Mm、弹性系数为Km的单振子，其质点的位移为 x，速度v ，对应的复位移为X，复速度为V 。单振子的势能和动能分别为
若单振子仅作简谐振动，则根据公式（2）势能和动能的一个周期平均值分别为
对于自由振动，
代入前式，知平均势能等于平均动能：
声能通量密度和声强的运算
声能通量密度I为声压p与速度矢量v的乘积：I = p v。声压、速度和声能通量密度等物理量本身是实量，但均可以用复数表示。在振动与声的问题中，极大部分情形下所涉及的是复数量及其运算，因此在下文中我们放弃前面采用大写字母表示复量的做法，而一概约定：除非特别说明，所有的变量符号均表示对应实量的复量，如复声压、复速度和复能量通量密度仍用p、v和I表示；如果确实需要用到实数量，则只要对这些复数量取实部操作Re即可。例如，根据公式（1），复声能通量密度的公式可写成
（3）
取实部Re( I)即为实声能通量密度。
对频率为ω的简谐声波，公式（3）的第一项描述声能通量密度之瞬变，而第二项是“直流”分量，为复声能通量密度之时间均值：
（4）
取其实部即得到声强：
可见，采用复运算，易分离场量（此处是声能通量密度）的时变和时不变成份。
平面行波情形
对于平面行波，传播方向为n（单位矢量），则媒质质点的振速v = (p/z0)n，代入公式（3）和（4）得到
式中z0= ρ0c0是媒质声特性阻抗率。
声能密度的复数运算
用实声学量表示的流体声场的（瞬时）声能密度为
其中的声压p和速度 v是实数量。若全改用复量表示，且仍采用相同的变量符号，则上式应改为
（5）
对频率为ω的简谐声波，公式（5）后一等式中的第一项描述声能密度的瞬时变化，而第二项是“直流”分量，实为复声能密度之时间周期均值，取其实部即为平均声能密度。因此，简谐声场的平均声能密度为
（6）
平面行波的情形
对于沿方向n传播的平面行波，把v = (p/z0)n代入公式（5）和（6）得到
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