Sound fields and energy flux under total reflection

南京大學聲學研究所 王新龍 

【摘要】全反射乃常见声界面现象。若入射媒质的声速小于透射媒质的（或折射率小于1），则当入射角足够大就会发生全反射，入射声能悉数反射。虽然如此，全反射下声场如何分布？透射媒质中是否仍存在声场？如存在，取何种波动方式？此正本文试图回答的问题。分析表明，在全反射下，（1）入射媒质中的总声场在界面法向呈驻波形式，而在界面切向呈行波形式；（2）仍存在透射声波，但以沿界面传播的表面波形式存在，但垂直于界面的方向上指数衰减。

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图一、全反射示意：红色箭头表示折射方向。 

若透射媒质的声速c2大于入射媒质的声速c1，且入射角（incident angle）θi大于全反射临界角θic，

                                                                          （1）

声波全部反射。此即著名的声全反射现象（total reflection）。与光的全反射略有不同，声的全反射一般发生的“硬界面”，如从空气到水，从水到固体。光的全反射则发生在“软表面”——从光密介质入射到光疏介质，如光纤内的光反射，故而一般称之为全内反射。或问：在全反射状态，声场分布如何？声能又如何传播？此正本文所欲讨论的。

声场分布

如图一所示，频率为w的平面声波从声特性阻抗率为ρ1c1的媒质中以角度qi入射到声特性阻抗率为ρ2c2的媒质上。设入射方向和两媒质边界面的法向构成的平面为（x, y）平面，x轴沿边界内法向，y轴在边界平面上。根据平面行波论，入射（incident）、反射（reflected）和透射（transmitted）的声场解各具如下形式：

                                                        （2）

式中，pia、pra和pta分别为入射、反射和透射（折射）波的声压幅度，rp和tp分别为声压反射系数和透射系数，θt为折射角（refracted angle），k1和k2分别入射和透射媒质的波数，而ni、nr和nt则依次为入射、反射和折射波的方向矢量，

                                        （3）

在nr表式中，已利用了关系θr=θi。为简洁起见，本文一概省略时间因子exp(jωt)。

根据Snell定律（折射律），

                                                                                        （4）

当θi>θic时，sinqt > 1，θt不复为实数而是复数。是以，作复变换：θt→ψ，

                                                                      （5）

代入折射公式（4），则Snell定律改为

                                                                                               （6）

由此可知，ψ具有实数解。当θi从θic增至π/2时，ψ从0单调增大至arccosh(1/n)>0。此处要提醒读者，数学上，变换（5）中的ψ可正可负。但考虑到下面公式（12）给出的透射声压解pt中，声波必沿x正向衰减，ψ只能取正值。引入变换（5）后，全反射（θi>θic）状态下的声压反射系数rp和透射系数tp可表为

                                     （7）

式中的相位角φ由下列公式给出

                                                            （8）

从公式（7）可见，当入射角θi大于临界角θic时，反射波的振幅等于入射的（|rp|=1），但入射和反射声压间存在2φ的相位差。把rp=exp(2jφ)代入入射和反射声压表达式（2），两者相加再简化，得到入射侧的总声压场p1的速度场v1=（v1,x，v1,y）的表达式

                                              （9）

式中，via是入射声波质点速度振幅。可见，入射侧声场因全反射而在法向（负x方向）形成了驻波，但沿界面（y方向）仍是传播的。沿界面的传播的相速度和波长分别为

                                                              （10）

所以，沿界面传播的相速度大于入射媒质的常规声速c1=ω/k1，波长λ1y比常规波长λ1=k1/2π要长；仅当入射波完全平行于界面（θi=π/2）时，c1y=c1，λ1y=λ1。公式（9）也表明，在全反射下，法向驻波声场存在依赖于入射角θi的相位φ，故驻波的波节和波腹位置因入射角θi变化而发生漂移。值得注意的是，在临界全反射（θi=θic）下，φ=0，tp=2，即透射声压是入射的两倍。当入射角θi→π/2（最大入射角）时，相位φ：0→π/2，透射系数的幅值|tp|从2降至0。从公式（9）还可以看出，在入射侧的任意位置，速度分量位相相差90°，流体质点在（x，y）平面上围绕平衡位置作椭圆运动，与单纯的行波声场不同。

把变换（5）代入（3）式中的nt表达式，结果：

                                                                                            （11）

即透射波矢kt=k2nt的法向分量是虚数，表明透射波在x方向是非传播的。利用（7）式给出的透射系数tp和公式（11），公式（2）中的透射声压pt和速度矢量vt=（vt,x，vt,y）经整理可进一步表为

                                            （12）

此表明，在全反射下透射波是沿界面传播、但法向衰减的声表面波（surface waves）——仅存于边界面附近的声波，类似于固体表面的瑞利波（Rayleigh waves）。透射波的幅度随离边界之深度x而指数衰减，若令k2xsinhψ=1，则得到表面波的“透射深度”x=d为：

                                                                                  （13）

所以，透射深度d是入射角θi的函数。当入射角θi大于但接近于临界角θic时，透射深度d很大；若θi=θic，则ψ→0，d→∞，透射声波在x方向均匀，此正是沿y方向传播的平面波。从公式（12）还可以看出，在透射侧的任意位置，速度分量位相相差90°，流体质点在（x，y）平面上围绕平衡位置作椭圆运动，这也是一般表面波声场的特性。从公式（12）可知，沿平行于表面的y方向传播的相声速和波长λ2y分别为

                                                                      （14）

即，全反射下透射波沿界面的传播速度c2y小于常规声速c2。根据公式（6）以及c1=nc2和λ1=nλ2，比较公式（10）和（14）知

所以，在界面两侧，沿界面传播的相速度和波长是相等的。其实，根据Snell定律，k1sinθi=k2sinθt，这一结论对任意入射皆成立。如图二所示，随着入射角从临界角增大，表面波的相速度从c2降低到c1。

图二、从空气入射到水中沿气水界面方向传播（表面波）的相速度与入射角的关系（蓝线）。

入射侧的声强和声能密度

根据公式（2），入射和反射声强分别为

                                                                         （15）

其中I0乃入射声强。可见，在全反射下，|Ir|=|Ii|=I0。入射侧的总声强为

最后一项反映了入射和反射之间的干涉（interference）。把公式（2）代入，

所以，

                      （16）

其中是沿y方向的单位矢量。可见，入射侧总声强的方向与反射面平行，在法向声强呈“条纹”状分布，其x方向（法向）的周期平均值为：

（无法正常显示）                                                                  （17）

把声场表达式（9）直接代入声能密度公式，

得到入射侧的声能密度ε1及其法向（x）的空间平均值<ε1>：

              （18）

式中，ε0是入射平面声波的声能密度。如此，公式（17）可表示成

                                                             （17a）

即，能量是以小于自由空间声速c1的速度c1g沿界面传播的，这与公式（10）给出的相速度c1y正好相反。无论入射波还是反射波，作为平面行波声能在单位时间内传播距离等于相速度c1，但从图一可见，这段距离在界面方向的投影是c1sinθi，故声能实际传播的速度是c1g=c1sinθi。

透射侧的声强与声能密度

利用公式（11）和（12），得到透射声强         

                （19）

声能沿界面（y方向）传播，但沿x方向指数衰减。掠入射时，θi→π/2，φ→π/2，I2→0。当入射波完全平行于边界传播时，声波与边界无耦合（流体质点速度沿切向），故无透射声（I2 = 0）。此乃理想流体之必然。对黏性流体，黏滞力的存在使得边界导致切向耦合，结果会产生黏滞边界效应。下图三（a）是声波从空中入射到水中发生全反射时声强在界面两侧法向的分布。从公式（16）和（19）可知，边界两侧声强不连续，两者的比值为

因空气和水的密度相差巨大，水中的透射声强|I2|很小，且当θi>θic时衰减很快。但是，如果两媒质的密度相差不远，则透射声强可以足够大，如图（b）所示。

  图三、全反射时声强的法向分布。

从公式（15）可知，单位横截面积入射的能量全部反射。从图一可见，在全反射下单位入射横截面积对应的透射横截面为零，而根据公式（19）透射声强又是有限的（I2 < ∞），所以单位横截面积入射的声能几无透射，能量保持守恒。诚然，如公式（19）表面，在全反射状态下，透射媒质中沿边界附近仍存在表面声能，其成因是声场趋向稳态之前的瞬态效应。

同理，根据声场分布（12），可得到全反射下透射声场的能量密度，

比较（19）与（20）知，全反射下透射媒质的声强I2和声能密度ε1具有如下的关系

                                            （20）

式中，c2g是声波能量的传播速度。所以，表面波的能量传播速度与由公式（14）所给出的相速度c2y相等，都小于透射媒质自由声波的传播速度c2。